Gerakan bidang umum dan benda kaku yang mengambang bebas
Apakah informasi yang diberikan di atas cukup untuk menemukan pose baru $\mathbf{T'}$? Jika tidak, informasi apa yang hilang dan bagaimana saya melanjutkan untuk mencari nilai baru$\mathbf{T'}$?.
Setiap komentar dan saran dipersilakan :)
EDIT
Dengan kata sederhana, yang ingin saya temukan adalah solusi (jika memungkinkan) yang mengatakan sesuatu seperti: geser piring sekian banyaknya $x$, $y$ dan $z$ arah dan kemudian putar sekian dan sekian $x,y$ dan $z$sumbu masing-masing sehingga pelat mendarat di$\mathbf{T'}$.
Harap dicatat bahwa Gaya tetap konstan selama interval waktu yang singkat $\Delta t$.
Jawaban
Anda harus menyelesaikan persamaan tersebut
\begin{align*} &m\,\boldsymbol{\ddot{R}}=\boldsymbol{S}(\boldsymbol\varphi)\,\sum_i\,\boldsymbol{F}_i\\ &\boldsymbol\Theta\,\boldsymbol{\dot{\omega}}+\boldsymbol\omega\times\,\left(\boldsymbol\Theta\,\boldsymbol\omega\right) =\sum_i \left(\boldsymbol{r}_i\times \boldsymbol{F}_i\right)\\ &\boldsymbol{\dot\varphi}=\boldsymbol{A}\,\boldsymbol\omega \end{align*} dengan kondisi awal \begin{align*} &\boldsymbol{R}(0)= \boldsymbol{R}_0\\ &\boldsymbol{\dot{R}}(0)= \boldsymbol{0}\\ &\boldsymbol{\varphi}(0)=\boldsymbol{\varphi}_0\\ &\boldsymbol\omega(0)=\boldsymbol{0} \end{align*}
dimana
- $\boldsymbol{S}$ Matriks rotasi antara sistem tubuh dan sistem inersia
- $\boldsymbol{R}$ Pusat vektor posisi massa
- $\boldsymbol{\omega}$ Kecepatan sudut
- $\boldsymbol{\varphi}=\left[\alpha~,\beta~,\gamma\right]^T$ sudut Euler
- $\boldsymbol\Theta$ Tensor intertia \begin{align*} \boldsymbol\Theta= \left[ \begin {array}{ccc} \frac{m}{12}\, \left( {w}^{2}+{t}^{2} \right) &0&0 \\ 0&\frac{m}{12} \left( {l}^{2}+{t}^{2} \right) &0 \\ 0&0&\frac{m}{12} \left( {l}^{2}+{w}^{2} \right) \end {array} \right] \end{align*}
dari solusi persamaan diferensial Anda mendapatkan posisi pusat massa $~\boldsymbol{R}(t)~$ dan matriks rotasi tubuh $~\boldsymbol{S}(t)$
Edit
bagaimana mendapatkan matriks $~\boldsymbol{A}$
Anda mulai dengan matriks rotasi misalnya:
\begin{align*} &\boldsymbol S=\left[ \begin {array}{ccc} 1&0&0\\ 0&\cos \left( \alpha \right) &-\sin \left( \alpha \right) \\ 0& \sin \left( \alpha \right) &\cos \left( \alpha \right) \end {array} \right]\, \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) &0&\sin \left( \beta \right) \\ 0&1&0\\ -\sin \left( \beta \right) &0&\cos \left( \beta \right) \end {array} \right]\, \left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \gamma \right) &-\sin \left( \gamma \right) &0\\ \sin \left( \gamma \right) &\cos \left( \gamma \right) &0\\ 0&0&1\end {array} \right]\\\\ &\text{with}\\ &\left[ \begin {array}{ccc} 0&-\omega_{{z}}&\omega_{{y}} \\ \omega_{{z}}&0&-\omega_{{x}}\\ -\omega_{{y}}&\omega_{{x}}&0\end {array} \right] =\boldsymbol{S}^T\,\frac{d}{dt}\,\boldsymbol{S}\\ &\Rightarrow\\ &\begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \\ \end{bmatrix}=\underbrace{\left[ \begin {array}{ccc} \cos \left( \beta \right) \cos \left( { \gamma} \right) &\sin \left( {\gamma} \right) &0\\ - \cos \left( \beta \right) \sin \left( {\gamma} \right) &\cos \left( { \gamma} \right) &0\\ \sin \left( \beta \right) &0&1 \end {array} \right] }_{\boldsymbol{J}_R}\,\begin{bmatrix} \dot{\alpha} \\ \dot{\beta} \\ \dot{\gamma}\\ \end{bmatrix}\\ &\boldsymbol{A}=\left[\boldsymbol{J}_R\right]^{-1}= \left[ \begin {array}{ccc} {\frac {\cos \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&-{\frac {\sin \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&0\\ \sin \left( \gamma \right) &\cos \left( \gamma \right) &0\\ -{\frac { \sin \left( \beta \right) \cos \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&{\frac {\sin \left( \beta \right) \sin \left( \gamma \right) }{\cos \left( \beta \right) }}&1\end {array} \right] \end{align*}
Kondisi awal $~\boldsymbol{\varphi}_0=\left[\alpha_0~,\beta_0~,\gamma_0\right]$
dengan:
\begin{align*} & \boldsymbol{S}_{t=0}=\left[ \begin {array}{ccc} m_{{1,1}}&m_{{1,2}}&m_{{1,3}} \\ m_{{2,1}}&m_{{2,2}}&m_{{2,3}} \\ m_{{3,1}}&m_{{3,2}}&m_{{3,3}}\end {array} \right]\\\\ &\text{with}~\boldsymbol S= \boldsymbol{S}_{t=0}\\ &\Rightarrow\\ &\tan \left( \alpha_{{0}} \right) =-{\frac {m_{{2,3}}}{m_{{3,3}}}}\\ &\tan \left( \gamma_{{0}} \right) =-{\frac {m_{{1,2}}}{m_{{1,1}}}}\\ &\sin \left( \beta_{{0}} \right) =m_{{1,3}} \end{align*}
Gerak translasi dari pusat massa (CM) diberikan dengan menyelesaikan hukum kedua: $Md \vec V/dt = \vec F_{ext}$ dimana $M$ adalah massa total, $\vec V$ adalah kecepatan CM, dan $\vec F_{ext}$adalah gaya eksternal bersih. Ini berlaku untuk semua sistem partikel, dalam benda kaku atau tidak.
Pembahasan berikut tentang gerak rotasi mengasumsikan benda kaku. Gerakan rotasi di sekitar pusat massa yang bergerak rumit untuk dievaluasi; misalnya, inersia adalah tensor untuk rotasi 3D umum. Pendekatan tipikal adalah pertama-tama menemukan sumbu utama untuk benda; sumbu yang hasil kali inersia dalam tensor inersia adalah nol. Sumbu utama membentuk sumbu tubuh, tetap di dalam tubuh yang berasal dari CM. Sumbu tubuh berputar dengan tubuh. Untuk mengevaluasi gerakan sehubungan dengan satu set tetap sumbu ruang dengan asal pada CM (sumbu ruang tetap dan tidak berputar), sudut Eulerian dapat digunakan. Kemudian, gerak rotasi dapat dimodelkan dengan Lagrangian menggunakan sudut Eulerian. Pendekatan ini dibahas dalam banyak tes mekanika fisika menengah / lanjutan, seperti: Symon, Mekanika dan Goldstein, Mekanika Klasik. Saya sarankan Anda membaca buku teks semacam itu untuk detailnya, dan untuk contoh, seperti bagaimana mengidentifikasi sumbu utama, gerakan puncak simetris, dan gerakan bebas torsi. Secara umum, pendekatan numerik diperlukan, terutama untuk benda non-simetris.
Selain informasi yang Anda berikan, kepadatan pelat juga diperlukan untuk menyiapkan persamaan yang akan dievaluasi $T'$menggunakan pendekatan yang dirangkum di atas. Sumbu utama pelat Anda - dengan asumsi kepadatan konstan - mudah diidentifikasi karena simetrinya
Torsi dihitung dari titik kerangka inersia (misalnya titik awal $O_G$) adalah turunan waktu dari momentum sudut total: $$\tau = \frac{d\mathbf L}{dt}$$
Dan momentum sudut pelat pada waktu tertentu adalah:
$$\mathbf L = \int_v \mathbf r_G \times d\mathbf p = \int_v \mathbf r_G \times \frac{d\mathbf r_G}{dt} \rho dv$$
Dimana $\mathbf r_G$ adalah vektor posisi titik-titik pelat dari titik asal $O_G$. Tetapi pada saat yang sama, dengan mengetahui gaya dan lokasinya di pelat, torsi diketahui:
$$\tau = \sum_{i=1}^n\mathbf r_{Gi} \times \mathbf F_i$$
Menyamakan torsi ini dengan turunan waktu dari intergral momentum sudut kita memiliki persamaan vektor diferensial di $\mathbf r_G$ dan $\frac{d\mathbf r_G}{dt}$, yang harus diselesaikan dengan syarat batas itu $\frac{d\mathbf r_G}{dt} = 0$ kapan $t = 0$.
Prosedur ini berlaku bahkan jika bodinya tidak kaku. Tetapi batasan tambahan itu berarti bahwa untuk setiap titik tubuh, jarak ke titik lain tidak berubah seiring waktu. Memilih sumbu sejajar dengan bingkai koordinat global$O_G$, tetapi dengan asal pada titik tubuh yang berubah-ubah, setelah beberapa saat $\Delta t$ posisi dari semua titik lainnya bergerak sesuai dengan matriks rotasi yang sangat kecil $R$.
$$\Delta \mathbf r_b = R\mathbf r_b - \mathbf r_b = (R - I)\mathbf r_b \implies \frac{d \mathbf r_b}{dt} = \Omega \mathbf r_b$$
Dimana $\mathbf r_b$ adalah vektor posisi relatif terhadap asal yang dipilih dalam tubuh, dan $\Omega$ adalah matriksnya:
\ begin {Bmatrix} 0 & - \ omega_3 & \ omega_2 \\ \ omega_3 & 0 & - \ omega_1 \\ - \ omega_2 & \ omega_1 & 0 \ end {Bmatrix}
Itu $\omega$adalah kecepatan sudut sesaat relatif terhadap sumbu koordinat. Produk silang dalam integral momentum sudut menjadi:
$$\mathbf r_b \times \frac{d\mathbf r_b}{dt} = \mathbf r_b \times \Omega \mathbf r_b$$
Memperluas perkalian silang, momentum sudut pada waktu tertentu, relatif terhadap titik dalam benda, dapat dinyatakan sebagai: $\mathbf L = (\int_v \rho M dv) \omega$
dimana $M$ adalah matriks persegi:
\ begin {Bmatrix} (y ^ 2 + z ^ 2) & -xy & -xz \\ –yx & (z ^ 2 + x ^ 2) & -yz \\ -zx & –zy & (x ^ 2 + y ^ 2) \ end {Bmatrix}
dan $\omega$ adalah matriks kolom:
\ begin {Bmatrix} \ omega_1 \\ \ omega_2 \\ \ omega_3 \ end {Bmatrix}
Secara khusus, jika titik yang dipilih dalam benda adalah COM, kita dapat menggunakan hukum Newton kedua untuk pergerakannya:
$$\sum_{i=1}^n\mathbf F_i = m \frac{d\mathbf v_{COM}}{dt}$$
Dan samakan torsi relatif terhadap COM dengan turunan waktu momentum sudut juga relatif terhadap COM:
$$\tau = \sum_{i=1}^n\mathbf r_{COMi} \times \mathbf F_i = \frac{d(\int_v \rho M dv) \omega}{dt}$$
Tentu saja integral menyederhanakan banyak jika massa jenis konstan, dan jika secara kebetulan gaya terjadi untuk memutar benda di sekitar salah satu dari 3 sumbu utama inersia.
Dengan jawaban singkat "Ya" itu sudah cukup. Setiap benda kaku memiliki 6 derajat kebebasan, 3 translasi 3 rotasi. Pada kasus tertentu; 3 deskripsi variabel independen untuk hasil rotasi dalam masalah singularitas di mana rotasi tidak dapat ditentukan. Oleh karena itu, dengan memperkenalkan rotasi variabel baru dijelaskan dengan 4 variabel yang saling bergantung satu sama lain dengan satu persamaan yang disebut persamaan kendala. Oleh karena itu bahkan dengan 4 parameter rotasi benda kaku deskripton hanya memiliki 6 derajat kebebasan, secara total. Dalam kasus Anda;
Anda menentukan nilai enam variabel posisi, nilai enam variabel kecepatan dan nilai enam variabel percepatan karena gaya. Dimana semuanya benar-benar ditentukan.
Jadi masalah Anda adalah masalah yang "didefinisikan dengan baik".