Grup permutasi hingga yang setiap elemen non-identitasnya memiliki titik tetap yang unik
Jika saya tidak salah, pernyataan berikut ini benar:
Dalil. Membiarkan$E$ menjadi himpunan (terbatas atau tak terbatas), biarkan $G$ menjadi subkelompok terbatas dari $S_{E}$ sedemikian rupa sehingga setiap elemen non-identitas $G$memiliki tepat satu titik tetap. Kemudian semua elemen non-identitas$G$memiliki titik tetap yang sama. (Dan dengan demikian, jika$G$ tidak sepele, hanya ada satu elemen $x$ dari $E$ yang ditetapkan oleh setiap elemen $G$. Kemudian$G$ bertindak bebas $E \setminus \{x\}$.)
Saya mencari bukti di buku teks dan di Internet, tetapi saya tidak melihat apa pun. (Mungkin saya terlihat buruk.) Saya sendiri menemukan bukti (saya membuat sketsa di bawah) tetapi tidak terlalu indah dan saya khawatir itu terlalu rumit. Jadi pertanyaan saya adalah: apakah Anda tahu bukti yang lebih langsung?
Ini buktinya.
$\mathbf{Step 1.}$ Membiarkan $E$ menjadi himpunan (terbatas atau tak terbatas), biarkan $G$ menjadi subkelompok (terbatas atau tak terbatas) dari $S_{E}$ sedemikian rupa sehingga setiap elemen non-identitas $G$memiliki tepat satu titik tetap. Asumsikan bahwa$G$adalah abelian. Kemudian semua elemen non-identitas$G$ memiliki titik tetap yang sama.
$\mathbf{Proof.}$ Membiarkan $\alpha$ dan $\beta$ elemen non-identitas dari $G$. Sejak$G$ adalah abelian, $\alpha ^{-1} \beta \alpha = \beta$.
Menerapkan kedua anggota ke titik tetap yang unik $b$ dari $\beta$ memberi
$\alpha ^{-1} \beta \alpha (b)= b$.
Menerapkan $\alpha$ untuk kedua anggota memberi
$\beta \alpha (b) = \alpha (b)$, jadi $\alpha (b)$ adalah titik tetap dari $\beta$. Sejak$b$ adalah satu-satunya titik tetap dari $\beta$, kami memiliki demikian $\alpha (b) = b$, jadi $b$ adalah titik tetap dari $\alpha)$, jadi $\alpha$ dan $\beta$memiliki titik tetap yang sama. Ini membuktikan langkah 1.
$\mathbf{Step. 2.}$ Membiarkan $E$ menjadi himpunan (terbatas atau tak terbatas), biarkan $G$ menjadi subkelompok (terbatas atau tak terbatas) dari $S_{E}$ sedemikian rupa sehingga setiap elemen non-identitas $G$memiliki tepat satu titik tetap. Asumsikan bahwa$G$memiliki subkelompok normal nontrivial yang semua elemen non-identitasnya memiliki titik tetap yang sama. Kemudian semua elemen non-identitas$G$ memiliki titik tetap yang sama.
$\mathbf{Proof.}$ Dengan hipotesis, kita dapat memilih subkelompok normal nontrivial $H$ dari $G$ sedemikian rupa sehingga semua elemen non-identitas $H$ memiliki titik tetap yang sama.
Pilih elemen non-identitas $\alpha$ dari $H$. Dari hipotesis,
(1) $\alpha$ memiliki titik tetap yang unik, katakanlah $a$, dan
(2) setiap elemen non-identitas $H$ memiliki $a$ sebagai titik tetap yang unik.
Membiarkan $\gamma$ menjadi elemen non-identitas $G$. Sejak$H$ normal $G$, $\gamma ^{-1} \alpha \gamma$ adalah elemen non-identitas dari $H$, dengan demikian, mengingat (2),
$\gamma ^{-1} \alpha \gamma (a) = a$. Menerapkan$\gamma$ untuk kedua anggota memberi $\alpha \gamma (a) = \gamma (a)$, jadi $\gamma (a)$ adalah titik tetap dari $\alpha$. Jadi, dengan (1),$\gamma (a) = a$. Dengan hipotesis,$\gamma$ hanya memiliki satu titik tetap, jadi hasil kami berarti satu-satunya titik tetap $\gamma$ aku s $a$. Ini terbukti untuk setiap elemen non-identitas$\gamma$ dari $G$, dengan demikian langkah 2 terbukti.
$\mathbf{Step. 3.}$ Membiarkan $E$ menjadi himpunan (terbatas atau tak terbatas), biarkan $G$ menjadi subkelompok (terbatas atau tak terbatas) dari $S_{E}$ sedemikian rupa sehingga setiap elemen non-identitas $G$memiliki tepat satu titik tetap. Asumsikan bahwa ada subset yang menghasilkan$X$ dari $G$ sedemikian rupa sehingga semua elemen non-identitas $X$memiliki titik tetap yang sama. Kemudian semua elemen non-identitas$G$ memiliki titik tetap yang sama.
$\mathbf{Proof.}$ Ini adalah konsekuensi mudah dari fakta bahwa setiap elemen $G$ adalah produk dari elemen non-identitas $X \cup X^{-1}$.
$\mathbf{Step. 4.}$ Membiarkan $E$ menjadi himpunan (terbatas atau tak terbatas), biarkan $G$ menjadi subkelompok (terbatas atau tak terbatas) dari $S_{E}$ sedemikian rupa sehingga setiap elemen non-identitas $G$memiliki tepat satu titik tetap. Asumsikan bahwa ada dua subgrup maksimal yang berbeda$M_{1}$ dan $M_{2}$ seperti yang
(saya) $M_{1} \cap M_{2} \not= 1$,
(ii) semua elemen non-identitas dari $M_{1}$ memiliki titik tetap yang sama dan
(iii) semua elemen non-identitas dari $M_{2}$ memiliki titik tetap yang sama.
Kemudian semua elemen non-identitas $G$ memiliki titik tetap yang sama.
$\mathbf{Proof.}$ Dari hipotesis (i), (ii) dan (iii), diperoleh hasil bahwa
(1) semua elemen non-identitas $M_{1} \cup M_{2}$ memiliki titik tetap yang sama.
Di sisi lain, sejak $M_{1}$ dan $M_{2}$ adalah dua subgrup maksimal yang berbeda dari $G$, mereka menghasilkan $G$, dengan kata lain,
(2) $M_{1} \cup M_{2}$ adalah bagian yang menghasilkan $G$.
Oleh (1), (2) dan langkah 3, semua elemen non-identitas dari $G$ memiliki titik tetap yang sama, dengan demikian langkah 4 terbukti.
$\mathbf{Step. 5.}$ Membiarkan $E$ menjadi himpunan (terbatas atau tak terbatas), biarkan $G$ menjadi a $\mathbf{finite}$ subkelompok $S_{E}$ sedemikian rupa sehingga setiap elemen non-identitas $G$memiliki tepat satu titik tetap. Kemudian semua elemen non-identitas$G$ memiliki titik tetap yang sama.
$\mathbf{Proof.}$ Asumsikan, dengan kontradiksi, itu
(hyp. 1) pernyataan itu salah.
Jadi, ada satu set $E$ dan subkelompok terbatas $G$ dari $S_{E}$ sedemikian rupa sehingga setiap elemen non-identitas $G$ memiliki tepat satu titik tetap dan elemen non-identitas $G$tidak semua memiliki titik tetap yang sama. Di antara subkelompok ini$G$ dari $E$, pilih $G_{0}$dengan urutan sesedikit mungkin. Kemudian
(2) $G_{0}$ adalah subkelompok terbatas dari $S_{E}$,
(3) setiap elemen non-identitas $G_{0}$ memiliki titik tetap yang unik,
(4) elemen non-identitas $G_{0}$ tidak semuanya memiliki titik tetap yang sama,
dan, mengingat minimalitas $\vert G_{0} \vert$,
(5) untuk setiap subkelompok yang tepat $K$ dari $G_{0}$, semua elemen non-identitas dari $K$ memiliki titik tetap yang sama.
Mengingat (3), (4), (5) dan langkah 4,
(6) subgrup maksimal dari $G_{0}$ berpotongan berpasangan sepele.
Asumsikan bahwa
(hip. 7) $G_{0}$ memiliki subkelompok normal $H$ seperti yang $1 < H < G_{0}$.
Dengan (5) (dan asumsi $H < G_{0}$), semua elemen non-identitas dari $H$memiliki titik tetap yang sama. Jadi, dengan langkah 2 (dan asumsi$1 < H$), semua elemen non-identitas dari $G_{0}$memiliki titik tetap yang sama. Ini bertentangan dengan (4), jadi (hip. 7) tidak masuk akal, dengan demikian$G_{0}$adalah grup sederhana. Jadi, dengan (2) dan langkah 1,
(8) $G_{0}$ adalah kelompok sederhana non-abelian yang terbatas.
Sekarang, (6) dan (8) tidak kompatibel, seperti yang dibuktikan di sini:
https://groupprops.subwiki.org/wiki/Finite_and_any_two_maximal_subgroups_intersect_trivially_implies_not_simple_non-abelian
Jadi hipotesis kami (1) tidak masuk akal, jadi langkah 5 terbukti.
Jawaban
Jika Anda sudah familiar dengan teori grup Frobenius hingga, mungkin akan lebih mudah untuk menggunakannya. Tindakan kelompok pada orbit non-reguler dengan panjang lebih dari$1$harus menjadi grup Frobenius, dan itu harus merupakan tindakan yang setia. Tetapi kemudian elemen bebas titik tetap dalam aksi tidak dapat memperbaiki poin apa pun, karena mereka juga tidak dapat terletak pada pelengkap Frobenius.
Perhatikan bahwa hasilnya salah untuk grup tak hingga, karena ada grup Frobenius tak hingga di mana semua elemen menetapkan titik unik. (Lihat, misalnya, jawaban Timm von Puttkamer di sini .)