Gunakan fungsi pembangkit untuk menyelesaikan hubungan perulangan yang tidak homogen
Membiarkan $a_0=0, a_1=2,$ dan $a_2=5$. Gunakan fungsi pembangkit untuk menyelesaikan persamaan pengulangan:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ untuk $n\geq0$.
Ini adalah masalah buku dari Applied Combinatorics. Saya benar-benar bingung tentang tackling$2^n$ bagian dari relasi perulangan menggunakan fungsi pembangkit.
Edit:
Saya tahu saya perlu mengubah pengulangan menjadi seri dan saya telah memecahnya, tetapi saya berjuang untuk membuatnya menjadi bentuk yang tepat untuk melakukan pecahan parsial. Ini adalah persamaan yang berhasil saya dapatkan.
Jika kita membiarkan $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ menjadi fungsi pembangkit untuk $a_n$ lalu setelah kalkulasi saya mendapat:
$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$
Setelah menyederhanakan: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$
Kemudian, penguraian fraksi parsial adalah: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$
Saya telah mencoba memasukkan nilainya, tetapi ada yang tidak beres. Tolong beri tahu saya di mana kesalahan saya.
Jawaban
Anda membuat kesalahan di suatu tempat dalam penurunan fungsi pembangkit (sulit untuk mengatakan di mana karena Anda tidak memasukkan bagian ini), saya mengerti
\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} yang memecahkan \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Cek solusinya, semoga bisa menyelesaikannya dari sini.