Harapan bersyarat dengan pengondisian ganda

Aug 17 2020

Untuk rvs apa pun $X$ dan $Y$:

$$E(Y|E(Y|X)) = E(Y|X)$$

Tapi sepertinya saya tidak bisa membuktikan ini. Saya mencoba menggunakan Hukum Adam dengan pengkondisian ekstra ($E(Y|X) = E(E(Y|X,Z)|Z)$) tapi sepertinya saya tidak berhasil.

Yang saya coba adalah sebagai berikut:

$$g(X) = E(Y|X)$$ $$E(Y|g(X)) = E(E(Y|X,g(X))|g(X))$$ Sejak acara tersebut $X$ terjadi dan $g(X)$ terjadi setara, pengkondisian pada keduanya $X$ dan $g(X)$sama dengan pengondisian hanya pada salah satunya. Apakah ada interpretasi intuitif tentang ini?

Apakah ini juga berarti bahwa pengkondisian pada $X$ atau fungsi apa pun $g$ dari $X$ adalah sama ?

Jawaban

1 JohnDawkins Aug 16 2020 at 23:58

Ini adalah kasus khusus dari Properti Menara Harapan Bersyarat, yang menegaskan bahwa jika $\mathcal F_1\subset\mathcal F_2$ kemudian $$ E[E[Y|\mathcal F_1]|\mathcal F_2] = E[E[Y|\mathcal F_2]|\mathcal F_1] = E[Y|\mathcal F_1]. $$ Gunakan persamaan kedua ini, dengan $\mathcal F_1=\sigma(E[Y|X])$ dan $\mathcal F_2=\sigma(X)$.

1 Michael Aug 16 2020 at 23:03

Argumen yang sudah Anda miliki adalah argumen teori non-ukuran yang cukup bagus. Saya hanya akan meresmikannya di bawah ini, mungkin membantu memberikan keyakinan tentang beberapa detail.

Menggunakan struktur argumen Anda: Biarkan $g(X)=E[Y|X]$. Kemudian\begin{align} E[Y|g(X)] &\overset{(a)}{=} E[E[Y|g(X),X]|g(X)]\\ &\overset{(b)}{=} E[E[Y|X]|g(X)]\\ &=E[g(X)|g(X)]\\ &\overset{(c)}{=}g(X) \end{align}di mana (a) menggunakan hukum ekspektasi yang berulang; (bis-bis$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$; (c) penggunaan$E[Z|Z]=Z$ untuk variabel acak apa pun $Z$. $\Box$


Langkah (b) yang lebih teliti adalah: $$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$$ dan ini secara intuitif berarti jika kita sudah tahu $X$, lalu informasi tambahan $g(X)$ tidak menambahkan hal baru.


Catatan:

  • Pengkondisian $X$ umumnya tidak sama dengan pengondisian $g(X)$, tetapi berfungsi dalam masalah khusus ini.

  • Derivasi teori ukuran dapat diberikan di sepanjang baris komentar pertama saya pada jawaban Anda. Anda juga bisa membenarkan$E[Y|g(X),X]=E[Y|X]$ lebih formal oleh teori ukuran ("aljabar sigma yang dihasilkan oleh $(g(X),X)$ sama dengan aljabar sigma yang dihasilkan $X$").

  • Definisi teori ukuran formal berbicara tentang "versi" dari ekspektasi bersyarat, dan saya tidak menjelaskan secara detail dalam jawaban ini (beberapa orang mungkin ingin mengganti persamaan saya dengan persamaan yang memiliki "dengan probabilitas 1").