Hitung batasnya $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Question

Saya harus menghitung batasnya $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Sebenarnya saya punya cara untuk menyelesaikannya, tetapi ini harus menjadi jawaban 60 detik atau kurang (dari ujian dengan lebih banyak pertanyaan)

Jadi saya mengembara jika ada cara yang lebih mudah atau saya hanya harus berpikir lebih cepat.

Inilah yang saya coba:

untuk $ x\to \infty $ juga $ t\to\infty $ dan $ \frac{1}{t^{2}}\to\infty $ jadi kita bisa mengambil ekspansi taylor $ cos $ sekitar $ 0 $:

$ \cos\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+R_{3}\left(x\right) $ jadi:

$ \cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)=1-\frac{1}{2t^{4}}+R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $

dan juga $ |R_{3}\left(x\right)|=|\frac{f^{(4)}\left(x_{0}\right)}{4!}x^{4}|\leq\frac{x^{4}}{4!} $ jadi

$ |R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\frac{1}{4t^{8}} $

sekarang:

$ \intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\intop_{x}^{2x}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{5}}+\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\right)dt=\left(\ln\left(t\right)\right)_{x}^{2x}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t^{4}}\right)_{x}^{2x}+\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Dan $ |\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\intop_{x}^{2x}\frac{1}{4t^{9}}dt=\left(-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{t^{8}}\right)_{x}^{2x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0 $

Jadi $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\ln2 $

Butuh waktu cukup lama bagi saya untuk memikirkannya, jika ada cara / tips atau trik yang lebih mudah untuk melakukannya, akan sangat membantu.

Terima kasih sebelumnya

Answer 1

Ada cara yang lebih sederhana. Jika$x$ cukup besar $0\leq 1-\cos (\frac 1 {t^{2}})<\epsilon$ untuk semua $t \in (x,2x)$. Karenanya$\int_x^{2x} \frac 1 t [1-\cos (\frac 1 {t^{2}})]dt<\epsilon (\ln (2x)-\ln x)=(\ln 2) \epsilon$. Oleh karena itu cukup untuk menemukan batas$\int_x^{2x} \frac 1 t dt $ yang mana $\ln 2$ dengan perhitungan langsung.