Hitung momentum sudut total benda yang berputar sekitar 2 sumbu (misalnya Bumi)
Pertimbangkan Bumi. Ia berputar pada porosnya sendiri (melewati kutub) dengan beberapa kecepatan sudut$\vec\omega$, dan mengelilingi matahari, dengan beberapa kecepatan sudut $\vec\Omega$.
Di setiap buku teks / halaman web yang saya lihat sejauh ini, saya telah melihat momentum sudut karena mengorbit matahari dihitung secara terpisah dari momentum sudut karena rotasi bumi pada porosnya sendiri.
Bagus. Tapi bagaimana cara mendapatkan momentum sudut bumi secara lengkap?
Saya menyadari jawaban berikut: Momentum sudut benda berputar dan benda berputar (bumi) , tetapi menurut saya hal itu tidak menjawab pertanyaan tersebut. Jawabannya menggunakan kecepatan sudut$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- tetapi bagaimana Anda bisa mendapatkan kecepatan itu jika benda berputar sekitar 2 sumbu? Teorema rotasi Euler tidak berlaku, karena salah satu sumbu tidak pada objek.
Oleh karena itu, saya akan mengulangi pertanyaannya: Mengingat kecepatan sudut yang mengorbit $\vec\Omega$ dan kecepatan sudut tentang sumbu bumi $\vec\omega$, bagaimana saya menemukan momentum sudut total bumi (atau sebuah benda yang menunjukkan deskripsi rotasi yang sama dengan 1 sumbu rotasi pada tubuh, yang lainnya mati)?
Jawaban
Pertama, pertimbangkan bahwa putaran bumi bersudut terhadap sumbu orbit.
Sini $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
Rotasi gabungan (diberi judul tentang sumbu x negatif dari atas) adalah
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
yang dapat diterjemahkan ke dalam
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
Yang menarik adalah Anda dapat menghitung pusat rotasi bumi secara instan relatif terhadap bumi $(c_y,c_z)$ ($c_z$ditampilkan negatif di bawah). Ini adalah titik dimana bumi sebenarnya berputar.
Untuk mencari titik, hitung kecepatan orbital ( sumbu x positif keluar halaman)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
dan kemudian pusat rotasi
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
yang menarik mengingat dalam satuan jarak bulan (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
yang hampir selalu satu LD terhadap matahari, dan satu-setengah LD di bawah bumi pada titik balik matahari musim panas, dan satu-setengah LD di atas bumi pada titik balik matahari musim dingin.
Sekarang kinematika bumi terbentuk, kita dapat berbicara tentang dinamika.
Bumi berputar dengan $\vec{w}$ dan momentum sudutnya di pusat bumi adalah $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ dimana ${\rm I}_E$ adalah momen massa inersia bumi.
Tetapi karena bumi juga sedang menerjemahkan, ia memiliki momentum linier $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Untuk menghitung momentum sudut bumi terhadap matahari, maka kita gabungkan kedua besaran tersebut dengan aturan berikut
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Jika Anda melakukan perhitungan, Anda akan menemukan sebagian besar momentum sudut di sepanjang sumbu z , dengan komponen kecil di sepanjang sumbu y .
Yang menarik, Anda bisa menemukan lokasinya di ruang angkasa yang dilalui oleh sumbu perkusi bumi. Dengan cara yang mirip di atas, titik ini adalah
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
Pentingnya titik dalam ruang ini adalah jika Anda menerapkan momentum yang sama dan berlawanan $\vec{p}$ke bumi melalui pusat perkusi, bumi tidak hanya berhenti mengorbit tetapi juga berhenti berputar . Anda dapat menghilangkan semua energi kinetik bumi dengan satu impuls melalui titik ini. Itu akan menghentikan bumi di jalurnya.
Anehnya, aturan untuk menjumlahkan dua kecepatan sudut tidak bergantung pada apakah "sumbu kecepatan sudut ini" melewati objek atau tidak, dan apakah keduanya berpotongan atau tidak.
Kecepatan sudut suatu benda tidak bergantung pada kerangka acuan inersia pilihan Anda. Misalkan kita memiliki beberapa anak panah yang menempel pada tubuh; saat ini$t_0$ panah ini menunjuk ke bintang yang jauh $A$; saat ini$t_1$ panah ini menunjuk ke bintang lain yang jauh $B$- baik, jika benar, daripada benar dalam semua kerangka acuan inersia. Dan seberapa cepat orientasi tubuh berubah - tidak tergantung pada kerangka acuan (selama kerangka acuan inersia).
Sekarang mari kita ukur kecepatan sudut total Bumi. Dimungkinkan pertama untuk mengukurnya dalam kerangka acuan yang melekat pada Matahari dan berputar sedemikian rupa, sehingga kecepatan bumi adalah nol. Misalkan kecepatan sudut bumi dalam kerangka acuan ini adalah$\vec\omega$. Kecepatan sudut dari kerangka acuan adalah$\vec\Omega$, jadi kecepatan sudut total Bumi adalah $\vec\omega + \vec\Omega$. Ini adalah vektor yang mengarah ke bintang kutub, besarnya kira-kira$1/86164sec$ - dimana 86164 adalah jumlah detik pada hari sidereal, yaitu periode rotasi bumi relatif terhadap bintang yang jauh.
Sekarang ke bagian kedua dari pertanyaan Anda: "Di setiap buku teks / halaman web yang saya lihat sejauh ini, saya telah melihat momentum sudut karena mengorbit matahari dihitung secara terpisah dari momentum sudut karena rotasi bumi pada porosnya sendiri. "
Kali ini kerangka acuannya dipasang ke Matahari dan bersifat inersia. Cara yang "wajar" untuk menghitung momentum sudut total Bumi dalam kerangka acuan ini adalah dengan membagi Bumi menjadi beberapa bagian kecil, menghitung momentum setiap bagian, dan menjumlahkan hasilnya. Cara yang lebih mudah adalah menghitung momentum di sekitar pusat massa Bumi, daripada menghitung momentum Bumi seolah-olah semua massanya terletak di pusat massanya dan menjumlahkan kedua vektor ini. Hasil totalnya akan sama - ini adalah teorema matematika sederhana.
Perhatikan, bahwa momentum akibat rotasi Bumi di sekitar porosnya jauh lebih kecil daripada momentum akibat rotasi Bumi mengelilingi Matahari. Lebih penting lagi, tidak hanya momentum Erath total (yaitu jumlah dari dua vektor ini) yang konstan dalam waktu, masing-masing komponen ini juga konstan! (kami mengabaikan pengaruh Bulan dan planet lain). Jadi, jika Anda ingin menghitung detail tentang bagaimana kecepatan bumi bergantung pada jarak ke Matahari (hukum Keppler) - Anda dapat mengabaikan bagian "rotasi di sekitar porosnya sendiri" dari momentum sudut Bumi dengan aman.