Homotopy lipatan 4 halus setara yang tidak stabil diffeomorphic?
Ingatlah bahwa dua lipatan-4 $M$ dan $N$adalah stabil diffeomorphic jika terdapat$m,n$ seperti yang $$M \#_n (S^2 \times S^2) \cong N \#_n (S^2 \times S^2).$$ Artinya, mereka menjadi difeomorfik setelah mengambil cukup banyak jumlah yang terkait $S^2 \times S^2$.
Saya tertarik untuk mencari contoh $M$ dan $N$ yang setara homotopi $M \simeq N$, tetapi dimana $M$ dan $N$ gagal menjadi difeomorfik secara stabil.
Saya tahu dari dua sumber contoh lipatan semacam itu. Dalam Contoh 5.2.4 dari
Manifold 4 topologi dengan kelompok fundamental terbatas P. Teichner, Tesis PhD, Universitas Mainz, Jerman, Shaker Verlag 1992, ISBN 3-86111-182-9.
Teichner membuat sepasang $M$ dan $N$ dimana kelompok fundamental $\pi$ adalah grup terbatas mana pun dengan Sylow 2-subgrup, grup Quaterion umum $Q_{8n}$ dengan $n \geq 2$.
Sepasang lainnya $M$ dan $N$ dengan kelompok fundamental, kelompok dihedral tak terbatas dibangun di:
Pada konstruksi-bintang untuk manifold 4 topologi . P. Teichner, Proc. dari Konferensi Topologi Internasional Georgia 1993. Geom. puncak. Pejantan AMS / IP. Adv. Matematika. 2 300-312 AMS (1997)
Apakah ada contoh lain yang diketahui dari fenomena ini? Saya tidak berhasil menemukan literatur lain, tetapi ini bukan bidang keahlian saya. Apakah ada hasil umum tentang kapan hal ini bisa terjadi?
Jawaban
$\newcommand{\Z}{\mathbb Z}\newcommand{\RP}{\mathbb{RP}}$ $\RP^4$ dan palsu Capell-Shaneson $\RP^4$, yang akan saya tunjukkan $Q$, adalah contoh dengan kelompok fundamental $\Z/2$. Saya tidak tahu apakah ini menggeneralisasi, tetapi saya suka contoh ini karena alasan TFT: David Reutter membuktikan bahwa TFT 4d semisederhana tidak dapat membedakan orientasi, difeomorfik stabil$4$-manifold, tetapi ada TFT semisimple yang membedakan $\RP^4$ dari $Q$.
Teori bedah yang dimodifikasi Kreck menentukan apakah dua tertutup $4$-manifold $X$ dan $Y$ adalah $(S^2\times S^2)$-stabil diffeomorphic menggunakan bordisme. Secara khusus,$X$ dan $Y$ harus memiliki normal stabil yang sama $1$-Tipe $\xi\colon B\to BO$. (Lihat Kreck untuk definisi normal yang stabil$1$-type.) Kemudian, seseorang menghitung set $S(\xi) := \Omega_4^\xi/\mathrm{Aut}(\xi)$, dimana $\mathrm{Aut}(\xi)$ menunjukkan kesetaraan homotopi serat dari $\xi\colon B\to BO$. $X$ dan $Y$ menentukan kelas di $S(\xi)$; mereka secara stabil difeomorfis jika kelas-kelas ini sama.
Dalam kasus $\RP^4$ dan $Q$, tipe normal yang stabil adalah $\xi\colon B\mathit{SO}\times B\Z/2\to BO$, di mana peta diklasifikasikan oleh bundel vektor virtual peringkat-nol $V_{\mathit{SO}}\oplus (\sigma - 1)$; sini$V_{\mathit{SO}}\to B\mathit{SO}$ dan $\sigma\to B\Z/2$adalah bundel tautologis. Lift peta klasifikasi di seberang$\xi$ setara dengan pin$^+$ struktur pada bundel singgung, jadi kita lihat $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\cong\Z/16$. Itu$\mathrm{Aut}(\xi)$-aksi aktif $\Z/16$ mengirim $x\mapsto \pm x$.
Kirby-Taylor memilih isomorfisme$\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\Z/16$ dan tunjukkan bahwa di bawah isomorfisme ini, dua pin$^+$ struktur pada $\RP^4$ dikirim ke $\pm 1$, dan dua pin$^+$ struktur pada $Q$ dikirim ke $\pm 9$. Demikianlah saat kami kirim$x\mapsto -x$, keduanya tetap berbeda.
Penyimpangan TFT: untuk membangun TFT 4d unorientasi yang membedakan $\RP^4$ dari $Q$, mulai dengan pin$^+$ TFT yang dapat dibalik yang fungsi partisi-nya adalah $\eta$-inarian yang mendefinisikan isomorfisme $\Omega_4^{\mathit{Pin}^+}\to\mu_{16}$ (sini $\mu_{16}$ menunjukkan akar persatuan ke-16 dalam $\mathbb C$). Kemudian lakukan integral jalur hingga pin$^+$struktur. Kedua operasi ini secara matematis dipahami untuk TFT yang diperpanjang sekali, sehingga hasilnya adalah TFT yang tidak berorientasi sekali diperpanjang (karenanya semisimple) yang membedakan$\RP^4$ dari $Q$. Saya menulis tentang ini secara lebih rinci dalam jawaban MO lainnya .