Hubungan antara turunan sinyal dan spektrum frekuensi
Saya ingin mencicipi sinyal yang turunannya saya tahu dibatasi oleh batasan fisik. Pengambilan sampel terganggu oleh suara gaussian, oleh karena itu saya perlu memfilter sampel dengan filter lowpass.
Karena saya tahu persis batas pada besaran turunan, saya bertanya-tanya apakah ada cara untuk menerjemahkan batas ini dalam batas frekuensi, untuk menentukan frekuensi batas filter.
Ide intuitif saya adalah bahwa frekuensi rendah membentuk bagian "halus" dari sampel (yaitu bagian dengan turunan yang kompatibel dengan ikatan, sinyal), sedangkan frekuensi yang lebih tinggi bertanggung jawab atas perubahan tiba-tiba dalam sampel ( yaitu bagian dengan kemiringan yang melebihi batas, kebisingan); jadi, menurut saya harus ada hubungan antara turunan dan komponen frekuensi sampel. Saya mencari sesuatu yang meresmikan konsep ini. Terima kasih!
Jawaban
Banyak hal tergantung pada bagaimana Anda ingin memformalkan pertanyaan Anda. Inilah satu pendekatan yang mungkin. Katakanlah sinyal dapat berfungsi apa saja$\mathbb Z$ dengan turunan yang dibatasi oleh $1$ dan kebisingan memiliki deviasi standar $\sigma$dan nilainya pada sampel yang berbeda tidak bergantung. Anda menerapkan filter linier dan Anda ingin meminimalkan ekspektasi$L^2$norma kesalahan dalam jangka waktu yang lama dalam skenario kasus terburuk . Apa seharusnya filter ini?
Mengambil transformasi Fourier dari segalanya, seperti biasa, kita melihat bahwa pertanyaannya direduksi menjadi menemukan fungsi $\varphi$ pada lingkaran dengan ukuran satuan yang diminimalkan $\sigma^2\int|\varphi|^2+\sup_{a}\frac 1N\int{|1-\varphi|^2\left|\sum_{k=1}^N a_k z^k\right|^2}$ dimana $a_k$ adalah urutan bilangan real sewenang-wenang dengan $|a_{k+1}-a_k|\le 1$ dan $a_0=a_{N+1}=0$ ($N$adalah durasi sinyal). Perhatikan bahwa jumlah tersebut adil$\frac{1}{1-z}\sum_{k=0}^N b_kz^k$ dimana $|b_k|\le 1$ dan $\sum_k b_k=0$. Ini membawa kita pada masalah menemukan supremum dari$\frac 1N\int\psi^2\left|\sum_{k=1}^N b_k z^k\right|^2$ untuk diberikan $\psi=\frac{1-\varphi}{|1-z|}$.
Supremum ini, tentu saja, tidak lebih dari $\sup\psi^2$, tetapi juga tidak kurang dari itu karena jika kita mengizinkan koefisien kompleks daripada koefisien nyata, kita dapat mendekati pengukuran-delta pada titik mana pun yang kita inginkan. Demikianlah jika kita tidak terlalu peduli dengan faktor-faktor sejenisnya$2$, kami dapat menyatakan kembali masalah kami sebagai berikut:
Memperkecil $\sigma^2\int(1-M|1-z|)_+^2+M^2$. Jika kita meneruskan ke kasus garis kontinu (yang membuat perkiraan yang layak jika Anda mengambil sampel cukup sering, jadi dalam normalisasi ini$\sigma\gg 1$) dan asumsikan bahwa transformasi Fourier diberikan oleh $\widehat f(\omega)=\int f(t)e^{-2\pi i \omega t}$ (sehingga file $L^2$ norma diawetkan, yang sesuai dengan $z=e^{2\pi i \omega}$), kami melihat bahwa kami harus meminimalkan $\sigma^2\int(1-2\pi M|\omega|)_+^2+M^2=\frac{\sigma^2}{3\pi M}+M^2$, yang menghasilkan nilai minimum pada $M=\sqrt[3]{\frac{\sigma^2}{6\pi}}$. Jadi, dari sudut pandang ini, filter optimal harus lewat$e^{2\pi i\omega t}$ untuk $|\omega|\le \omega_0=\sqrt[3]{\frac{3}{4\pi^2\sigma^2}}$ dengan penurunan linier dalam amplifikasi dari frekuensi $0$ (amplifikasi $1$) ke frekuensi $\pm\omega_0$ (amplifikasi $0$).
Sekarang tentang penskalaan. Misalkan Anda mengambil sampel pada interval waktu$\tau$, turunan waktu Anda dibatasi oleh $D$ dan deviasi standar kebisingan pada setiap sampel adalah $\Sigma$. Kemudian$\sigma=\frac{\Sigma}{D\tau}$ dan jawaban akhirnya harus menjadi $\Omega_0=\omega_0/\tau=\sqrt[3]{\frac{3 D^2}{4\pi^2 \Sigma^2\tau}}$.
Perhatikan sekali lagi bahwa ini adalah optimasi skenario kasus terburuk di bawah satu-satunya batasan mengenai turunan dengan tujuan untuk meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata . Jika Anda memiliki lebih banyak batasan pada sinyal Anda (katakanlah, beberapa amplitudo terikat selain ikatan turunan), atau ingin mengoptimalkan "sinyal tipikal" (yang kemudian harus ditentukan) dan tidak terlalu peduli dengan pencilan, atau lebih suka tujuan yang berbeda, jawabannya mungkin berubah. Juga saya percaya bahwa logika saya benar tetapi saya terkenal buruk dalam aljabar setelah tengah malam, jadi periksa angka-angka yang terlibat sebelum menerapkan jawaban akhir.