IMO 2003 / G1: Tunjukkan itu $PQ=QR$ jika dan hanya jika pembagi dari $\angle ABC$ dan $\angle ADC$ bersamaan dengan $AC$.

Question

Membiarkan $ABCD$menjadi segiempat siklik. Membiarkan$P$, $Q$, $R$ menjadi kaki tegak lurus dari $D$ ke garis $BC$, $CA$, $AB$, masing-masing. Menunjukkan bahwa$PQ=QR$ jika dan hanya jika pembagi dari $\angle ABC$ dan $\angle ADC$ bersamaan dengan $AC$.

Berikut diagramnya:

Saya ingin menggunakan geo proyektif.

Kemajuan Saya : Sudah sangat diketahui itu$P,Q,R$ adalah collinear [simson line]

Sekarang, inilah lemma.

Lemma : Diberikan quad siklik$ABCD$, bisectors sudut $\angle ABC$ dan $\angle ADC$ bersamaan dengan $AC$ jika dan hanya jika $ABCD$ adalah harmonis.

Bukti : jika$ABCD$ adalah harmonis $(A,C;B,D)=-1 \implies \frac {BA}{BC}=\frac {DA}{DC} $ , sekarang menerapkan teorema bisektor sudut, kita selesai.

Kita bisa mundur untuk membuktikan arah lain.

---

Jadi, pertanyaan yang diutarakan ulang adalah:

Membiarkan $ABCD$menjadi segiempat siklik. Membiarkan$P$, $Q$, $R$ menjadi kaki tegak lurus dari $D$ ke garis $BC$, $CA$, $AB$, masing-masing. Menunjukkan bahwa$Q$ adalah titik tengah dari $PR$ jika dan hanya jika $ABCD$ harmonis:

Sekarang, karena saya diminta untuk menggunakan Projective geo, saya berencana untuk menunjukkannya $(P,R;Q,P_{\infty})=-1$. Sekarang, saya bisa mendapatkan$P_{\infty}$ketika saya menganggap garis sejajar dengan garis simson tetapi saya tidak dapat melanjutkan untuk mengambil garis mana. Saya mengambil garis sejajar$PR$ melalui $D$, tetapi tidak dapat melanjutkan ..

Answer 1

Memperpanjang $DQ$ untuk memenuhi lingkaran di $X$Kemudian BX akan sejajar dengan garis simson seperti yang disebutkan di komentar.

Jika bagian: Sekarang, biarkan $BX$ memenuhi $AC$ di $Y$.Ambil perspektif di $B$ ke jalur $AC$ untuk menunjukkan itu $(Y,Q,A,C)$ harmonis. Sekarang, lihat perspektif di $X$ ke lingkaran untuk menunjukkan itu $ABCD$adalah harmonis. Arah lain dapat dibuktikan serupa.