Isomorfisme tentang fungsi normal pada aljabar von Neumann

Question

Pertanyaan ini berasal dari buku Pedersen "C * -algebras and their automorphism groups" (P55 Def. 3.6.5).

Jika $M$ adalah aljabar von Neumann di $B(H)$, biarkan $T(H)$ menunjukkan elemen dalam $B(H)$ dari kelas jejak dan set $N=\{x\in T(H)|~ Tr(ux)=0, \forall u\in M \}$. Membuktikan:$T(H)/N\cong M_*$ (isomorfisme isometrik), file $M_*$ menunjukkan semua fungsi normal pada $M$.

Bukti. Dari Teorema 3.6.4 buku Pedersen, kita dapat membuat peta alam dari$T(H)/N$ untuk $M_*$ oleh $$T(H)/N\longrightarrow M_*$$ $$x+N\longmapsto \phi$$ dimana $x$ adalah operator kelas jejak sedemikian rupa $\phi(y)=Tr(xy)$ untuk $y\in M$. Sangat mudah untuk melihat bahwa peta linier ini bersifat bijective. Dan saya bisa memverifikasi$||x+N||_1\leq||\phi||$ menurut definisi $||.||_1$ dan dekomposisi kutub $M$. Namun, bagaimana cara membuktikannya$||x+N||_1\geq||\phi||$? (Di sini,$||.||_1:=Tr(|.|)$).

Answer 1

Pertama, perhatikan bahwa kami memiliki, untuk $a\in B(H)$ dan $b\in T(H)$, ketidaksetaraan Hölder $$\tag1 |\operatorname{Tr}(ab)|\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). $$ Memang, menulis $b=v|b|$ dekomposisi kutub, yang kita miliki oleh Cauchy-Schwarz \begin{align} |\operatorname{Tr}(ab)|&=|\operatorname{Tr}(av|b|^{1/2}\,|b|^{1/2})| \leq\operatorname{Tr}(|b|^{1/2}v^*a^*av|b|^{1/2})^{1/2}\operatorname{Tr}(|b|)^{1/2}\\[0.3cm] &\leq\|v^*a^*av\|^{1/2}\,\operatorname{Tr}(|b|)=\|av\|\,\operatorname{Tr}(|b|)\\[0.3cm] &\leq\|a\|\,\operatorname{Tr}(|b|). \end{align}

Karena peta hasil bagi adalah a $*$-homomorphism, diberikan $z\in N$ kita punya $|x+z|=|x|+w$ untuk beberapa $w\in N$. Lalu jika$\|y\|=1$ dan $x=v|x|$ adalah dekomposisi kutub, $$ |\operatorname{Tr}(xy)|=\operatorname{Tr}(v^*|x|y)=\operatorname{Tr}((|x|+w)yv^*) =\operatorname{Tr}(|x+z|v^*y)\leq\|v^*y\|\,\operatorname{Tr}(|x+z|) \leq\operatorname{Tr}(|x+z|). $$ Karena ini bisa dilakukan untuk siapa saja $z\in N$, kita mendapatkan $$\|\phi\|=\sup\{|\operatorname{Tr}(xy)|:\ y\in M,\ \|y\|=1\}\leq\|x+N\|_1. $$