Jika $A$ adalah Noetherian, maka setiap ideal pecahan adalah dari bentuknya $x^{-1} \frak{a}$ untuk beberapa ideal $\frak{a}$ dari $A$

Question

[Pernyataan] Jika $A$ adalah Noetherian, maka setiap ideal pecahan adalah dari bentuknya $x^{-1} \frak{a}$ untuk beberapa ideal $\frak{a}$ dari $A$, $x \in A$.

---

[Mencoba]

Saya menemukan ini dalam aljabar Komutatif Atiyah Macdonald, Bab 9, halaman 96, Cita-cita pecahan.

Mereka bilang jika $A$ adalah Noetherian, maka setiap ideal pecahan adalah dari bentuknya $x^{-1} \frak{a}$ untuk beberapa ideal $\frak{a}$ dari $A$, $x \in A$ jadi setiap ideal pecahan dihasilkan secara tak terbatas.

Tidak apa-apa "sehingga ideal pecahan pernah dihasilkan secara tak terbatas" karena $A$ apakah noetherian sangat ideal $\frak{a}$ dihasilkan dengan sempurna.

Namun, bagaimana cara menunjukkan pernyataan di atas?

Membiarkan $M$menjadi pecahan ideal. Kemudian menurut definisi, ada$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ seperti yang $\frac{a}{b} M \subseteq A $, jadi $M \subseteq \frac{b}{a}A$.

Apa langkah selanjutnya?

Answer 1

Membiarkan $\{m_i\}_{i\in I}$ menghasilkan $M$ sebagai sebuah $A$-modul. Kemudian sebagai$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ itu mengikuti itu $m_i\in\frac{b}{a}A.$ Jadi, untuk masing-masing $i,$ kita boleh menulis $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ dengan $b_i\in A.$ Ini menyiratkan itu \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} Tapi sekarang $\sum_{i\in I}b_i A$ hanyalah cita-cita $A$ dihasilkan oleh $b_i,$ jadi kita selesai.