Jika $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, dengan tinggi $AD$ dan median $AK$. Membuktikan $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$

Question

Jika $\triangle ABC$ adalah segitiga dan $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, dengan tinggi $AD$ dan median $AK$; seandainya$D$ adalah antara $B$ dan $K$.

1. Buktikan itu $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$.
2. Lalu, buktikan itu $\angle BCA= \frac\pi 8$ jika $|AD|=|DK|$.
3. Simpulkan itu $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$

Saya sudah mendapatkan undian, tapi saya tidak tahu bagaimana memulainya.

saya tahu itu $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$

Answer 1

Pertimbangkan lingkaran sunat $\triangle ABC$. Sejak$\angle A=\frac{\pi}{2}$, itu mengubah diameter, dengan demikian $K$ adalah penyunat dan $$KA=KB=KC\tag{1}$$

1. Sejak $\triangle KCA$ sama kaki, $\angle KCA=\angle KAC$.
   Di$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, jadi $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, tapi $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, jadi $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED.
2. Di $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, jadi $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$.
   Sejak$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ dan $\angle KAC=\angle KCA$, jadi $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED.
3. Di $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ dan $AK=KC=AD\sqrt{2}$ jadi $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ fungsi lainnya dari $\frac{\pi}{8}$ dilakukan dengan menggunakan $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$

Answer 2

Membiarkan $D$ ditempatkan di antara $K$ dan $B$.

Jadi, sejak $AK$ adalah median, kami peroleh $$AK=CK=KB,$$ pemberian yang mana $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$

Answer 3

1. Karena Anda sudah tahu itu $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, gunakan properti bahwa sudut yang sesuai dari segitiga serupa adalah sama. Juga, perhatikan itu$AK=KC$, karenanya $\triangle KAC$ sama kaki.

2. Jika $AD=DK$, kita punya $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$. Jadi,$\triangle KAC$ menjadi sama kaki, kita punya $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$.

3. Kita punya $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$. Di$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$