Jika $f$ adalah fungsi nyata, kontinu di $a$ dan $f(a) < M$, lalu ada interval terbuka $I$ mengandung seperti itu $f(x) < M$ untuk semua $x \in I$.

Question

Saya punya masalah tentang Jika f adalah fungsi nyata, kontinu pada a dan f (a) jawaban I. Jika saya menggunakan$\epsilon =M-f(a)$ yang juga $\epsilon >0$ dan $ \exists$ $ \delta>0$ jadi ada jeda terbuka $I$ mengandung seperti itu $f(x)<M$ untuk semua $x \in I$. Saya pikir ini juga benar tetapi tidak yakin.

Adakah yang bisa memverifikasi jawaban saya?

$\underline{Edit}$

Sekarang biarkan $\epsilon = {M-f(a)}$, jelas $\epsilon >0$, dan karenanya ada interval terbuka $I=(a-\delta, a+\delta)$, seperti itu untuk semua $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ memegang.

Ini mengikuti itu $f(x)<M$ untuk semua $x \in I$

Answer 1

Kondisi itu $f$ kontinu di $a$menunjukkan bahwa \ begin {persamaan} \ lim_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = f \ left (a \ right). \ end {persamaan} Dengan kata lain, kita memiliki proposisi berikut: \ begin {persamaan} \ forall \ epsilon> 0, \ existing \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ kiri (x \ kanan) -f \ kiri (a \ kanan) \ rvert <\ epsilon. \ end {persamaan} Dan kita memiliki proposisi bahwa \ begin {persamaan} f \ kiri (a \ kanan) <M. \ end {persamaan} Menggunakan fakta bahwa$M - f\left(a\right) > 0$, kita memiliki \ begin {persamaan} \ ada \ delta> 0, \ untuk semua x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ left (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right), \ end {persamaan} yang selanjutnya menunjukkan bahwa \ begin {persamaan} \ ada \ delta> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ label {main} \ end {persamaan} Jika tidak ada interval terbuka seperti itu$I$ bahwa $f\left(x\right) < M$ untuk semua $x \in I$, maka kita memiliki proposisi berikut: \ begin {persamaan} \ forall \ delta> 0, \ existing x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ label {sub} \ end {persamaan} yang jelas-jelas bertentangan dengan kesimpulan kita.