Jika $f$ terus berlanjut $f$ terus menerus secara seragam jikaf $|f|$ terus menerus secara seragam

Question

Jika $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ terus berlanjut $f$ terus menerus secara seragam jikaf $|f|$ terus menerus secara seragam.

Sebuah peta $f$ dari ruang metrik $M=(M,d)$ ke ruang metrik $N=(N,\rho)$ dikatakan terus menerus seragam jika untuk setiap $\epsilon>0$, ada a $\delta>0$ seperti yang $\rho(f(x),f(y))<\epsilon$ kapanpun $x,y \in M$ memuaskan $d(x,y)<\delta$.

Jelas, jika $f:\Bbb R^n \to \Bbb R$ terus menerus secara seragam $|f|$ seragam terus menerus sebagai $|f|(x)-|f|(y)|\leq |f(x)-f(y)|$tapi saya benar-benar kesulitan menunjukkan bagian sebaliknya. Di wilayah mana$f$ selalu positif atau negatif, kami tidak akan punya masalah tetapi bagaimana menangani poin-poin di mana $f$sedang mengubah tanda. Jika nol$f$ terbatas maka kita juga dapat mengambil minimal semua $\delta$s dan simpulkan hasilnya. Apa yang akan terjadi jika nol$f$ tidak terbatas?

Answer 1

Seperti disebutkan di komentar, bukti yang diberikan di sini dapat dengan mudah dimodifikasi agar berfungsi untuk keseluruhan$\mathbb{R}^n$.

Sejak $\lvert f \rvert$ seragam terus menerus, ada a $\delta > 0$ seperti yang \begin{align*} d(x,y) \leq \delta \Rightarrow \lvert \lvert f \rvert (x) - \lvert f \rvert (y) \rvert \leq \frac{\epsilon}{2}. \end{align*} Perhatikan bahwa jika $f(x)f(y) > 0$, kemudian \begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert (y) \rvert, \end{align*} yang kurang dari $\epsilon/2$ kapanpun $d(x,y) \leq \delta$. Tak heran, kasus ini tergolong sepele. Kami sekarang mengalihkan perhatian kami ke kasus di mana$f(x)f(y) \overset{\star}{\leq} 0$. Karena selalu begitu\begin{align*} \lvert f(x)-f(y)\rvert \leq \lvert f \rvert(x) + \lvert f \rvert (y). \end{align*} itu sudah cukup untuk menunjukkan itu $\star$ menyiratkan adanya a $z$ seperti yang $d(x,z) \vee d(y,z) \leq d(x,y)$ dan $f(z) = 0$. Karena itu\begin{align*} \lvert f(x) - f(y) \rvert &\leq \lvert \lvert f \rvert(x) - \lvert f \rvert(z) \rvert + \lvert \lvert f \rvert(y) - \lvert f \rvert(z) \rvert \\ &\leq \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon \end{align*} kapanpun $d(x,y) \leq \delta$. Sejak$f$ berkelanjutan, keberadaan yang cocok $z$ mengikuti dari kontinuitas $f$ dan $\star$(sebagai konsekuensi dari Teorema Nilai Menengah, lihat misalnya di sini ).