Jika $fg$ kontinu di $a$ kemudian $g$ kontinu di $a$.
Seandainya $f$ dan $g$ ditentukan dan dinilai terbatas pada interval terbuka $I$ yang mengandung $a$, itu $f$ kontinu di $a$, dan itu $f(a) \neq 0$. Jika$fg$ kontinu di $a$ kemudian $g$ kontinu di $a$.
$\underline{Attempt}$
Sejak $f$ termasuk di $a$ dan $fg$ kontinu di $a$,
$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) \text{ and } \lim_{x\to a}f(x)g(x)=f(a)g(a)$$
begitu
$$\lim_{x\to a} {f(x)g(x)} = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a}g(x)=f(a)\lim_{x\to a}g(x)=f(a)g(a)$$
sejak $f(a) \neq0$
$$\lim_{x\to a}g(x)=g(a)$$
$\therefore g$ kontinu di $a$
Jawaban
Bukti Anda tidak benar. Anda mengasumsikan keberadaan$\lim_{ x \to a} g(x)$tetapi Anda harus membuktikan adanya batasan ini. Menulis$g(x)$ sebagai $\frac 1 {f{(x)}} {g(x)f(x)}$ mengamati itu $f(x) \neq 0$ jika $|x-a| $cukup kecil. Sekarang Anda dapat melihat bahwa batasan itu ada dan sama$\frac {f(a)g(a)} {f(a)}=g(a)$.
[Ada $\delta >0$ seperti yang $|x-a| <\delta$ menyiratkan $|f(x)-f(a)| <\frac {|f(a)|} 2$. Begitu$|x-a| <\delta$ menyiratkan $|f(x)| >|f(a)| -\frac {|f(a)|} 2=\frac {|f(a)|} 2>0$ sehingga $f(x) \neq 0$].