Kapan periodisasi suatu fungsi kontinu?
Pertimbangkan sebuah fungsi $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$, dimana $\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$menunjukkan ruang fungsi kontinu terbatas menghilang tak terhingga . Saya tertarik dengan$T$-periodisasi fungsi seperti itu, yang didefinisikan sebagai:$$f_{T}(t)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} f(t-nT),\quad \forall t\in \mathbb{R}.$$Sebagaimana dijelaskan dalam Fischer - Tentang dualitas fungsi diskrit dan periodik ,$f_{T}$ adalah $T$-distribusi tempered periodik jika$f$adalah fungsi yang membusuk dengan cepat — menghilang pada tak terhingga lebih cepat daripada polinomial mana pun.
Pertanyaan saya menyangkut keteraturan $f_T$:
Untuk fungsi yang mana $f\in\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$ adalah fungsi umum berkala $f_{T}$didefinisikan di atas fungsi biasa dan berkelanjutan ?
Dengan kata lain, apa yang seharusnya menjadi asumsi $f$ sehingga periodisasinya kontinyu?
Setiap petunjuk akan sangat dihargai. Terima kasih banyak sebelumnya!
Jawaban
Anda hanya butuh itu $f$menurun cukup cepat untuk membuat rangkaian konvergen secara seragam pada set yang kompak. Misalnya, itu sudah cukup$|x|^p |f(x)|$ terikat untuk beberapa $p>1$. Kemudian Anda dapat memperkirakan suku-suku deret secara seragam pada interval yang kompak$[-a,a]$ untuk $nT>2a$ oleh $cn^{-p}$ dengan konstan $c$.
Jawaban singkatnya : misalnya untuk fungsi Schwartz .
Jawaban panjang : Transformasi Fourier dari "periodik" adalah "diskrit" dan transformasi Fourier dari "diskrit" adalah "periodik". Ini adalah pemetaan satu-ke-satu. Ini dijelaskan dalam Fischer ini - Tentang dualitas fungsi diskrit dan periodik .
Secara analogi, transformasi Fourier dari "reguler" adalah "lokal" dan transformasi Fourier dari "lokal" adalah "reguler". Ini adalah pemetaan satu-ke-satu. Ini dijelaskan dalam Fischer - Tentang dualitas fungsi reguler dan lokal .
Istilah "biasa" mengacu pada fungsi biasa yang dapat terdiferensiasi tak terbatas yang tidak tumbuh lebih cepat dari polinomial. Fungsi (reguler) ini disebut operator perkalian untuk distribusi temper. Produk perkalian mereka dengan distribusi temper sekali lagi merupakan distribusi temper.
Istilah "lokal" mengacu pada distribusi temper yang bersifat "lokal", yaitu, mereka dengan cepat meluruh ke nol (lebih cepat dari polinomial). Fungsi (umum) ini disebut operator konvolusi untuk distribusi temper. Produk konvolusi mereka dengan distribusi temper juga merupakan distribusi temper.
Properti dari "biasa" dan "lokal" memenuhi teorema konvolusi pada distribusi temper .
Sekarang, properti dari "periodic", "discrete", "regular" dan "local" dapat digabungkan. Sebagai contoh, "local + regular" adalah fungsi Schwartz dan Transformasi Fourier dari fungsi Schwartz adalah fungsi Schwartz ("local + regular"). Selain itu, transformasi Fourier dari "periodik diskrit" juga menjadi "periodik diskrit". Ini menghasilkan Discrete Fourier Transform (DFT) .
Sekarang, prasyarat untuk fungsi yang digeneralisasikan yang dapat diberi periodisasi adalah bahwa fungsi tersebut "lokal" dan prasyarat untuk fungsi umum yang dapat didiskritisasi adalah bahwa fungsi tersebut "biasa".
Jadi, kembali ke pertanyaan awal , untuk periodisasi fungsi (biasa atau umum), itu harus "lokal" dan untuk memungkinkannya menjadi fungsi biasa, itu harus "biasa". Dengan kata lain, fungsi Schwartz memenuhi dua persyaratan ini , yaitu "regular + local".
Properti Schwartz ini berfungsi sebagai "reguler" dan "lokal" secara bersamaan, menjelaskan peran khusus mereka sebagai fungsi uji dalam teori distribusi dan fisika kuantum .
Namun, ada perbedaan dari "menjadi mulus" dalam pengertian fungsi biasa dan fungsi umum. Orang mungkin ingat, setiap fungsi umum itu mulus (dapat dibedakan tanpa batas) dan, karenanya, "berkelanjutan". Untuk menjawab pertanyaan ini dalam pengertian fungsi biasa, yang tertanam dalam teori fungsi umum, ada lebih banyak fungsi selain fungsi Schwartz. Fungsi persegi panjang , misalnya, halus dalam arti fungsi umum tetapi tidak mulus dalam arti fungsi biasa. Periodisasinya, bagaimanapun, menghasilkan fungsi yang konstan 1 untuk T yang sesuai yang merupakan fungsi biasa yang mulus (khususnya kontinu). Jadi, jelas, fungsi yang kontinu pada interval [-T / 2, + T / 2] dan sedemikian rupa sehingga f (-T / 2) = f (+ T / 2) juga memenuhi persyaratan.