Karakterisasi spektrum diskrit automorfik
Saya baru-baru ini belajar tentang dekomposisi spektral automorfik dari buku "Dekomposisi spektral dan seri Eisenstein" oleh Moeglin dan Waldspurger. (Biarkan saya menyebutnya MW)
Saya punya pertanyaan tentang karakterisasi spektrum diskrit.
Izinkan saya menjelaskan notasi dasar seperti pada MW.
Membiarkan $G$ menjadi kelompok reduktif yang terhubung atas bidang aljabar $k$ dan $\xi$ menjadi karakter kesatuan $Z_G(A)$.
Membiarkan $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ menjadi $L^2$-fungsi aktif $G(k)\setminus G(A)$ dengan karakter sentral $\xi$.
Kemudian, $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$ terurai menjadi ruang yang dihasilkan oleh residu berulang dari seri Eisenstein dan komplemennya, yang dijelaskan oleh integral langsung dari seri Eisenstein (MW, IV 2.1)
Biarkan saya menelepon ruang pertama $L^2_d$.
(Saya pikir itu $L^2_d$ adalah penutupan rentang $L^2$ bentuk automorfik di $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$.)
Izinkan saya menyebut bagian semi-sederhana yaitu jumlah langsung Hilbert dari sub-representasi topologis yang tidak dapat direduksi $L^2(G(k) \setminus G(A))_\xi$, dengan nama $L^2_{ss}$.
Definisi spektrum diskrit dan sifat kontinu dan dasar
Pada artikel di atas, ini disebut spektrum diskrit.
Pertanyaan saya adalah
- Adalah $L^2_d$ dan $L^2_{ss}$ sama?
- Jika ya, bagaimana cara membuktikannya? Bisakah kita membuktikannya dengan alat analisis fungsional elementer (misal, pengetahuan buku "Analisis Fungsional" karya Walter Rudin) seperti pembuktian teorema Gelfand-Graev-Patetski-Shapiro yakni seperti pada kasus cuspidal?
Saya pikir sudah jelas itu $L^2_d$ mengandung $L^2_{ss}$, tapi saya bertanya-tanya apakah kebalikannya benar. Saya sangat menghargai setiap petunjuk untuk menyelesaikan pertanyaan ini. Terima kasih!
Diedit: Saya menambahkan satu pertanyaan dan definisi lagi $L^2_{ss}$sejalan dengan komentar. Terima kasih atas komentarnya!
Jawaban
Itu benar dengan diterimanya $L^2_{d}$.
klaim 1. $L^2_{d}$ bisa diterima.
Sketsa pembuktian
Jika tipe-K tetap, ada kemungkinan terbatas karakter sangat kecil dari bentuk-bentuk automorfik dengan tipe-K dan dalam$L^2_{d}$, oleh teorema penerimaan Harish-Chandra untuk representasi cuspidal dan konstruksi residu seri Eisenstein. (cf. MW V3.3, V3.13, Corvallis 4.3)
Jadi, sekali lagi oleh teorema admisibilitas Harish-Chandra, ruang$L^2_{d}$ bisa diterima.
klaim 2 representasi kesatuan yang dapat diterima dari G ($\mathbb{A}$) sederhana.
Sketsa bukti
Itu cukup untuk menunjukkan bahwa setiap representasi kesatuan bukan nol yang dapat diterima memiliki subrepresentasi yang tidak dapat direduksi. (Kemudian diikuti oleh lemma Zorn.)
Mari$\pi$menjadi representasi kesatuan yang tidak nol yang dapat diterima. Kemudian, ada satu set tipe-K yang terbatas$\mathcal{F}$ seperti yang $\mathcal{F}$-bagian tipikal dari $\pi$, katakanlah $\pi_\mathcal{F}$bukan nol.
Membiarkan$e_\mathcal{F}$ menjadi idempoten yang sesuai dalam aljabar Hecke dari G, $\mathcal{H}(G)$, dan biarkan $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ menjadi $e_\mathcal{F} \ast \mathcal{H}(G) \ast e_\mathcal{F}$. (lih. Corvallis P183, pasalnya Flath, dan Bab I dari Knapp-Vogan.)
Lalu$\pi_\mathcal{F}$ memiliki subrepresentasi yang tidak dapat direduksi, $\rho_\mathcal{F}$ dari $\mathcal{H}(G,\mathcal{F})$ dan itu menghasilkan G ($\mathbb{A}$) -subspace $\rho$.
Kami mengklaim itu$\rho$tidak bisa direduksi.
Jika tidak,$\rho$ mendekomposisi jumlah langsung dari dua subruang tertutup yang tepat $\rho_{1}$ dan $\rho_{2}$.
Memproyeksikan$\rho_\mathcal{F}$, salah satu dari $(\rho_i) _\mathcal{F}$bukan nol. Dengan tidak dapat direduksi$\rho_\mathcal{F}$, salah satu dari $(\rho_i)$ sama $\rho$dan kontradiksi. (Untuk melengkapi bukti ini, kita harus menggunakan beberapa analisis fungsional, misalnya lihat 1.6.6 dari kelompok reduktif nyata Wallach.)