Kategori monoid yang tensornya memiliki penyambung kiri
Apakah ada nama untuk kategori monoidal $(\mathscr V, \otimes, I)$ seperti yang $\otimes$ memiliki adjoint kiri $(\ell, r) : \mathscr V \to \mathscr V^2$? Apakah mereka pernah belajar di mana saja? Apa sajakah contoh yang menarik?
Beberapa komentar: kapan $I : 1 \to \mathscr V$ memiliki adjoint kiri, lalu $\mathscr V$adalah semicartesian, yaitu unitnya adalah terminal. Kapan$\otimes$ memiliki adjoint kiri, yang selanjutnya merupakan diagonal $\Delta : \mathscr V \to \mathscr V^2$, kemudian $\mathscr V$ memiliki produk biner.
Saya akan membuka definisi di sini untuk membuat struktur lebih eksplisit. Membiarkan$(\mathscr V, \otimes, I)$ menjadi kategori monoidal. $\otimes$ memiliki adjoint kiri jika kita memiliki yang berikut ini.
- endofunctors $\ell : \mathscr V \to \mathscr V$ dan $r : \mathscr V \to \mathscr V$;
- untuk setiap pasang morfisme $f : \ell(X) \to Y$ dan $g : r(X) \to Z$, morfisme a $\{f, g\} : X \to Y \otimes Z$;
- untuk setiap morfisme $h : X \to Y \otimes Z$, morfisme $h_\ell : \ell(X) \to Y$ dan $h_r : r(X) \to Z$,
seperti itu, untuk semua $x : X' \to X$, $y : Y \to Y'$ dan $z : Z \to Z'$, kita punya $$y \otimes z \circ \{ f, g \} \circ x = \{ y \circ f \circ \ell(x), z \circ g \circ r(x) \}$$ $$\{ h_\ell, h_r \} = h$$ $$\{ f, g \}_\ell = f$$ $$\{ f, g \}_r = g$$
Jawaban
Hanya untuk membersihkan $\epsilon$ruang tersisa setelah jawaban Qiaochu - kita dapat menyingkirkan hipotesis tambahan. Saya akan menulis$I$ untuk unit monoid dan $1$ untuk objek terminal.
Asumsikan bahwa $(\ell,r) \dashv \otimes$. Kemudian isomorfisme alami$A \cong I \otimes A \cong A \otimes I$ memunculkan, dengan tambahan, ke peta $\ell A \to I$ dan $r A \to I$, natural di $A$. Kami juga memiliki peta unit$A \to (\ell A) \otimes (r A)$, natural di $A$. Menekan dan menyusun, kami mendapatkan peta$A \to (\ell A) \otimes (r A) \to I \otimes I \cong I$, natural di $A$. Artinya, kami memiliki cocone (dengan simpul$I$) pada fungsi identitas untuk $V$. Ini mengikuti bahwa dalam penyelesaian idempoten$\tilde V$ dari $V$, ada objek terminal (yang harus ditarik $I$).
Sekarang, penyelesaian idempoten $\tilde V$ lagi-lagi memiliki struktur monoid $\tilde \otimes$ dengan adjoint kiri $(\tilde \ell, \tilde r)$. Jadi, bagian pertama dari argumen Eckmann-Hilton Qiaochu dapat dijalankan$\tilde V$: $I = I \otimes I = (I \times 1) \otimes (1 \times I) = (I \otimes 1) \times (1 \otimes I) = 1 \times 1 = 1$ (dalam ekspresi ketiga, produk ada secara sepele, dan di ekspresi keempat produk ada karena $\otimes$mengawetkan produk). Artinya, kita harus punya$I_{\tilde V} = 1_{\tilde V}$. Tapi$I_{\tilde V}$ adalah gambar dari $I_V$ di $\tilde V$, dan penyertaan ke dalam penyelesaian idempoten mencerminkan objek terminal. Karena itu$V$ memiliki objek terminal, dan $1_V = I_V$.
Kemudian, seperti yang diamati pada komentar di atas, bagian kedua dari argumen Eckmann-Hilton Qiaochu dapat dijalankan di $V$: $A \otimes B = (A \times 1) \otimes (1 \times B) = (A \otimes 1) \times (1 \otimes B) = A \times B$ (dalam ekspresi kedua, produk ada secara sepele, dan di ekspresi ketiga produk ada karena $\otimes$mengawetkan produk). Artinya, produk biner ada di$V$ dan setuju dengan $\otimes$. Faktanya, fungsi identitas adalah fungsi dari oplax monoidal$(V,\otimes)$ untuk $(V,\times)$, yang ditunjukkan oleh argumen tersebut sebenarnya adalah monoidal yang kuat. Jadi$(V,\otimes) \simeq (V,\times)$ sebagai kategori monoidal.
Jika $\otimes : V \times V \to V$ memiliki adjoint kiri dan $V$ memiliki produk yang terbatas $\otimes$ melestarikan mereka dalam arti peta alam
$$(X \times Y) \otimes (Z \times W) \to (X \otimes Z) \times (Y \otimes W)$$
adalah isomorfisme. Dengan versi monoidal-kategorikal dari argumen Eckmann-Hilton, bagi saya tampaknya ini menyiratkan hal itu$\otimes$adalah produknya. Secara eksplisit, jika kita membiarkan$1_{\times}$ menunjukkan objek terminal dan $1_{\otimes}$ menunjukkan unit monoid maka kita mendapatkan isomorfisme
$$1_{\otimes} \cong 1_{\otimes} \otimes 1_{\otimes} \cong (1_{\otimes} \times 1_{\times}) \otimes (1_{\times} \times 1_{\otimes}) \cong (1_{\otimes} \otimes 1_{\times}) \times (1_{\times} \otimes 1_{\otimes}) \cong 1_{\times} \times 1_{\times} \cong 1_{\times}$$
begitu $1_{\otimes} \cong 1_{\times}$(dan isomorfisme ini unik jika ada sehingga kita bahkan tidak perlu terlalu khawatir tentang natur). Sekarang kita bisa melepaskan subskrip yang keterlaluan dan hanya merujuk ke$1$. Ini memberikan isomorfisme alami
$$X \otimes Y \cong (X \times 1) \otimes (1 \times Y) \cong (X \otimes 1) \times (1 \otimes Y) \cong X \times Y$$
untuk apapun $X, Y$. Sebenarnya saya tidak yakin apakah argumen ini menunjukkan bahwa asosiator dan pemersatu$\otimes$ cocok dengan asosiasi dan pemersatu produk tetapi saya rasa versi yang lebih rumit dari argumen ini dapat melakukannya.
Saya tidak tahu apakah itu mungkin $V$tidak memiliki produk yang terbatas. (Sebelumnya ada argumen di sini yang melibatkan konvolusi Hari tetapi Tim telah menunjukkan celah di dalamnya di komentar.)