Kealamian dari proyeksi kanonik? [duplikat]

Question

Teorema isomorfisme pertama (untuk grup) menyatakan bahwa$G/ \text{Ker} (\varphi) = \varphi(G)$. Ini disebut proyeksi kanonik, tetapi terkadang juga proyeksi alami . Saya bertanya-tanya apakah ini karena proyeksi kanonik ini sebenarnya adalah transformasi alami antara fungsi-fungsi yang sesuai.

Answer 1

Inilah yang saya coba (bukan jawaban lengkap untuk pertanyaan saya)$\require{AMScd}$

---

Diberikan$G$dan$\varphi: G \to \varphi(G)$. Kami mencoba membangun sebuah functor$F: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$, sehingga terjadi transformasi alami$\eta : \text{id} \to F$. Di Sini$\text{id}$adalah fungsi identitas dan$\mathbb{C}$adalah kategori semua kelompok. Untuk meringankan notasi, mari$N=Ker(\varphi)$, pertimbangkan juga dua sifat berikut sebagai grup$H$mungkin:

$(1)$Setidaknya ada beberapa morfisme$\alpha: H \to G$seperti yang$\alpha(H) - N \not = \emptyset$, yaitu ada beberapa$h \in H$seperti yang$\alpha(h) \not \in N$

$(2)$Setidaknya ada beberapa morfisme$\beta: G \to H$seperti yang$\beta(N) \not = 1$

Grup dengan sifat-sifat ini memiliki beberapa struktur$\eta$-gambar ditentukan oleh kondisi naturalitas, dan lebih jauh lagi ini adalah satu-satunya kelompok, sehingga ada beberapa batasan di dalamnya$\eta$-gambar-gambar. Untuk melihat ini, ambil grup$K$yang tidak memiliki$(1)$juga bukan$(2)$. Kemudian, naturalitas untuk morfisme$f: K \to G$adalah:

\begin{CD} H @>{f}>> G \\ @VVV @VVV \\ \eta H @>{\eta f}>> G/N; \end{CD}

Jika$f$hanya homomorfisme sepele maka ini hanya memaksa$\eta f$menjadi homomorfisme sepele jadi$\eta H$adalah "gratis", artinya tidak ada batasan pada apa$\eta H$harus berada di kuadrat komutatif ini . Untuk melihat bahwa itu "bebas" di setiap kuadrat komutatif komutatif di mana$H$adalah domain dan$G$adalah kodomain, oleh kurangnya properti$1$, kita punya itu$f(H) - N = \emptyset$, sehingga kuadrat komutatif di atas terlihat seperti:

\begin{CD} h @>{f}>> f(h) \\ @VVV @VVV \\ \eta h @>{\eta f}>> 1; \end{CD}

Sekali lagi, ini memaksa$\eta f$menjadi homomorfisme sepele sehingga$\eta H$gratis. Kasus terakhir, di mana$H$adalah domain dan ada morfisme untuk grup apa pun$K$mirip. Demikian pula untuk kapan$H$adalah kodomain.

---

Ini menunjukkan bahwa agar transformasi alami ada, saya hanya perlu memeriksanya untuk memuaskan kelompok-kelompok itu$(1)$atau$(2)$. Namun keraguan ini tetap ada:

1. Apakah sebenarnya ada definisi yang baik?$\eta$pada kelompok-kelompok tersebut sehingga kondisi kewajaran berlaku?
2. Jika ya untuk hal di atas, apakah kondisi naturalitas cukup untuk menentukan secara unik?$\eta$gambar kelompok tersebut?

---

Berikut adalah beberapa pemikiran terakhir:

• Menariknya jika ini$\eta$benar-benar ada, maka setiap homomorfisme kelompok adalah alami, karena untuk$f: A \to B$Saya pertama-tama bisa mendapatkan transformasi alami seperti itu$A \to A/\text{Ker}(f)$merupakan komponen dari$\eta$, tetapi dengan teorema isomorfisme pertama ini sama saja dengan$A \to B$.
• Jenis konstruksi yang saya coba lakukan mengingatkan saya pada ekstensi lapangan, saya tidak berpengalaman dalam topik ini tetapi saya pikir ada lebih dari koneksi yang kabur.