Kehalusan dalam masalah Brachistochrone

Question

Berikut ini adalah contoh spesifik dari masalah brachistochrone, yang pertama kali saya temui di sekolah pascasarjana, dan saya terkadang digunakan sebagai masalah hw dalam mengajar CM.

Sebuah partikel dimulai dari diam di asalnya dan dibatasi untuk jatuh di bawah gravitasi di sepanjang jalur $y(x)$ yang melewati titik tersebut $x=5$, $y=-1$(dalam satuan arbitrer, misalnya meter). Kami akan berasumsi bahwa potensial gravitasi linier,$V=mgz$.

a) Tentukan jalur yang meminimalkan waktu yang ditempuh. Buatlah plot dari jalan itu.

b) Apakah ada jalur lain yang membuat waktu tidak bergerak? Jika ya, buat plot dari jalur tersebut dan jelaskan apakah jalur ini minimum, maksimum, atau titik sadel.

Solusi dari masalah brachistochrone tentu saja sangat terkenal, jadi tugas ini sebenarnya tentang menemukan sikloid tertentu yang memenuhi syarat batas. Seperti yang ditunjukkan bagian b, ada lebih dari satu: Sikloid standar, dan dua sikloid yang `` memantul ''.

Sekarang jelas bahwa sikloid sederhana adalah minimum absolut, karena waktu traversal sebanding dengan sudut yang ditelusuri. Tapi bagaimana dengan dua lainnya? Secara naif, mereka harus menjadi pelana, tetapi variasi kedua dari fungsi tindakan secara nyata positif, menunjukkan bahwa mereka adalah minimum lokal. Tapi itu tidak mungkin benar, kecuali ada sesuatu yang lucu tentang topologi ruang jalur. Apakah titik sadel sikloid yang lebih tinggi atau minimum?

PS: Untuk melihat bahwa sikloid yang lebih tinggi tidak dapat dengan mudah dianggap sebagai solusi, perhatikan plot komponen kecepatan ini $(v_x,v_y)$ sebagai fungsi waktu untuk sikloid kedua.

Komponen percepatan yang sesuai adalah:

Jelas, percepatan (dan gaya pembatas) mulus sempurna.

Answer 1

TL; DR: Jalur yang dibangun sedikit demi sedikit dari lebih dari 1 sikloid (masing-masing dengan kemungkinan energi yang berbeda$E$, lihat di bawah), dan dengan katup di $x$-axis, tidak diam.

Bukti sketsa:

1. Ingatlah bahwa tindakan (= menghabiskan waktu) dari masalah brachistochrone adalah$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ dengan kondisi batas $y(0)=0$ dan $y(a)=b$. (Ini$y$-sumbu mengarah ke bawah dan kami memilih unit waktu dan ruang yang sederhana sehingga $2g=1$.)

2. Secara fisik, kami menuntut jalan itu $x\mapsto y(x)$setidaknya terus menerus. Secara matematis, integrand seharusnya merupakan integral Lebesgue. Untuk menjadi sesederhana mungkin tetapi juga menggabungkan contoh-contoh OP, kami akan melakukan kompromi yang nyaman dan menganggap itu jalannya$x\mapsto y(x)$secara bertahap dapat dibedakan, meskipun kami akan mengizinkan turunannya$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ menjadi tunggal pada titik-titik di antara kepingan-kepingan selama integrand tetap terintegralkan Lebesgue.

3. Oleh karena itu, jalur stasioner harus memenuhi persamaan Euler-Lagrange (EL) di dalam interior setiap bagian. Kondisi tambahan mungkin muncul di titik-titik di antara potongan-potongan itu.

4. Sejak Lagrangian $L$ tidak memiliki eksplisit $x$-ketergantungan gagasan energi yang sesuai (dalam sepotong) dilestarikan: $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

5. Solusi potongan adalah sikloid: $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$di mana aproksimasi valid di dekat titik puncak. Persamaan puncak menjadi$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ Di dekat titik puncak, partikel sedang melakukan gerakan jatuh bebas, yang halus sebagai fungsi waktu $t$.

6. Idenya sekarang adalah memotong titik puncak pada beberapa tingkat horizontal $y=\epsilon\ll 1$, yaitu di beberapa $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$. (Kami mempertimbangkan untuk kesederhanaan hanya cabang kanan dari puncak - cabang kiri serupa.) Tindakan dari titik puncak adalah$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ Sebagai perbandingan, tindakan jalur horizontal seperti yang diharapkan lebih cepat: $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ Ini menunjukkan bahwa kita dapat mengubah tindakan menjadi urutan pertama $\epsilon$, dan karenanya jalannya tidak diam. $\Box$