Kehilangan $\pm$ saat membedakan $x^2+y^2=1$ secara implisit

Question

Saat membedakan fungsi eksplisit: $y=\pm \sqrt{1-x^2}$ ada dua cabang dan $\pm$ dikonservasi dengan mempertimbangkan kedua cabang: $\frac{dy}{dx}=\pm \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$

Tetapi jika kita membedakan fungsinya secara implisit, kita kehilangan cabang positifnya: $$x^2+y^2=1$$ $$2x+2y\frac{dy}{dx}=0$$ $$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$$

Bagaimana cara membedakan fungsi ini secara implisit tanpa kehilangan $\pm$ ?

Answer 1

Dari baris kedua, kita baru saja mendapatkannya $\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{y}$... lalu jika $y=\pm \sqrt{1-x^2}$, Anda tidak akan kehilangan apa pun sebagai

$\frac{dy}{dx}=\frac{-x}{\pm \sqrt{1-x^2}}=\mp \frac{x}{ \sqrt{1-x^2}}$