Kelompok yang hampir besar dari peringkat kecil (terkait dengan manifold 3)
Saya mencari alasan mengapa grup berjenis 3 $G$ itu secara virtual $\mathbb{Z}\times F$, $F$menjadi non-cyclic free atau surface group, tidak mengizinkan presentasi pada dua generator.
Ini adalah grup fundamental dari manifold-3 tertutup dengan $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ geometri (terima kasih @HJRW karena telah menunjukkan bahwa kasus coretan di atas sesuai dengan batas yang tidak kosong), dan ternyata semua geometri lain menerima contoh dengan kelompok fundamental peringkat dua, dengan sorotan penting dari geometri euclidean di mana semuanya fundamental kelompok secara virtual $\mathbb{Z}^3$(dan rangking dua contoh sebagai manifold Fibonacci). Dengan demikian, kelompok berjenis-3 mengakui contoh kelompok berpangkat tinggi yang sebenarnya memiliki peringkat kecil. Tentu saja sudah diketahui dengan baik bahwa grup gratis pada dua generator sebenarnya memiliki peringkat tinggi yang sewenang-wenang.
Namun, menurut Boileau & Zieschang , Teorema 1.1, peringkat$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ manifold tergantung pada genus permukaan dasar dan jumlah serat tunggal dari fibrasi Seifert (dan paling sedikit 3), jadi secara virtual $\mathbb{Z}\times F$ memaksa grup untuk setidaknya memiliki peringkat yang sama.
Apa penyebab subkelompok ini membatasi peringkat kelompok ambien dari bawah dan, katakanlah, kelompok bebas atau bebas abelian $\mathbb{Z}^3$tidak? Saya akan senang jika ada alasan geometris 3 dimensi yang berperan di sini, tetapi akan berterima kasih karena telah menyegarkan teori grup umum saya juga.
Jawaban
Pertanyaan tersebut bermula dari salah tafsir Teorema 1.1 dalam makalah oleh Boileau dan Zieschang. Teorema 1.1 mengecualikan sejumlah besar kasus, khususnya, ini tidak berlaku untuk lipatan Seifert tertutup (berorientasi total) dengan 3 serat tunggal dan basis genus 0. Beberapa dari lipatan Seifert yang dikecualikan ini memberikan contoh tandingan untuk klaim Anda tentang peringkat$\ge 3$.
Misalnya, eksterior $N$ dari a $(p,q)$- simpul torus yang nontrivial dan bukan trefoil. Genus simpul ini adalah$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$(karena saya mengecualikan trefoil yang memiliki genus 1). Beraneka ragam$N$ adalah bundel permukaan di atas lingkaran yang seratnya $F$ adalah permukaan genus yang pernah tertusuk $g$. Monodromi dari fibrasi ini adalah urutan terbatas (sebenarnya, urutannya adalah$pq$) homeomorfisme $h: F\to F$. Jadi, jika kita meruntuhkan batas$F$ ke titik, kami mendapatkan permukaan tertutup $S$ dari genus $g$ dan $h$ akan memproyeksikan ke homeomorfisme urutan terbatas $f: S\to S$. Torus pemetaan$M=M_f$ adalah berjenis Seifert ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ diperoleh dengan pengisian Dehn batas $N$. Basis fibrasi Seifert akan memiliki tiga titik singular dan genus 0: Dua dari serat singular berasal dari$N$ dan yang satu berasal dari torus padat yang melekat padanya $\partial N$sebagai hasil dari pengisian Dehn kami. (Ini adalah fakta umum bahwa torus pemetaan dari homeomorfisme orde terbatas dari permukaan hiperbolik adalah berjenis Seifert${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$.) Sejak grup $\pi_1(N)$ adalah 2-generated, the quotient group $\pi_1(M)$ juga 2-dihasilkan.