Kendala di bawahnya $\rho(x, y) = |x - y|^d$ memenuhi pertidaksamaan segitiga

Aug 15 2020

Apakah mungkin untuk membuktikan dengan cara aljabar murni (tanpa langsung menggunakan contoh yang berlawanan) itu $\rho(x, y) = |x - y|^d$ tidak memenuhi ketidaksamaan segitiga $\rho(x, y) \leq \rho(x, z) + \rho(z, y)$ untuk $d = 2$? Dan di bawah batasan apa$x, y, z$apakah itu memenuhi ketidaksetaraan? Saya mencoba untuk melihat mengapa$\rho$ tidak bisa menjadi metrik yang valid pada $\mathbb R$.

Pertanyaan bonus: Untuk nilai lain apa $d \in \mathbb R$ tidak $\rho$ tidak memenuhi ketidaksamaan segitiga.

Jawaban

3 KaviRamaMurthy Aug 15 2020 at 16:39

Ketimpangan itu setara dengan $(a+b)^{d} \leq a^{d}+b^{d}$ untuk $a, b \geq 0$. Puting$a=b=1$ kami melihat itu $2^{d} \leq 2$. Karenanya$d \leq 1$adalah kondisi yang diperlukan. Untuk apapun$d \in (0,1]$ketidaksetaraan itu valid. Ini dapat dibuktikan dengan mengamati itu$(a+b)^{d}-a^{d}-b^{d}$ adalah penurunan fungsi $a$ dan lenyap saat $a=0$.

Kapan $d<0$, $|x-y|^{d}$ bahkan tidak ditentukan kapan $x=y$ sehingga tidak menghasilkan metrik. $d=0$ diserahkan padamu.