Kesulitan dalam memahami pentingnya Paradoks Grelling.
Latar Belakang: Saya seorang pemula matematika, belum mendaftar di universitas. Saya secara acak mulai membaca Pengantar Logika Matematika Mendelson , ketika saya menemukan paradoks ini di bagian pengantar:
Paradoks Grelling: Suatu kata sifat disebut autologis jika properti yang ditunjukkan oleh kata sifat berlaku untuk kata sifat itu sendiri. Kata sifat disebut heterologis jika sifat yang dilambangkan oleh kata sifat tidak berlaku untuk kata sifat itu sendiri. Misalnya, 'bersuku kata banyak' dan 'Inggris' bersifat autologis, sedangkan 'bersuku kata satu' dan 'Prancis' bersifat heterologis. Pertimbangkan kata sifat 'heterologis'. Jika 'heterologis' adalah heterologis, maka itu bukan heterologis. Jika 'heterologis' tidak heterologis, maka itu adalah heterologis. Dalam kedua kasus, heterologis adalah heterologis dan bukan heterologis.
Saya ingin memahami hal-hal berikut:
- Apa sumber kesalahan logika dalam paradoks ini? Jika saya merumuskan satu set$A$dari semua kata sifat dan himpunan bagian$A_a$dan$A_h$sesuai dengan kata sifat autologis dan heterologis, masing-masing, maka bisa jadi demikian$\text{(heterological)}\in A-(A_a\cup A_h)$, yaitu, itu bukan milik kedua set (kecuali$A_a\cap A_h=\emptyset$dan$A_a\cup A_h=A$).
- Pada catatan yang lebih ringan, saya ingin tahu tentang signifikansi matematis dari paradoks ini, dan bagaimana hal itu ditangani dalam teori himpunan modern.
Meskipun saya mengerti jawabannya bisa sangat abstrak, harap tambahkan analogi yang lebih sederhana beserta penjelasan teknis yang diperlukan, jika memungkinkan.
Jawaban
Jika$A, A_a,$dan$A_h$sebenarnya "masuk akal" - lebih lanjut tentang ini di bawah - maka kita jelas memilikinya$A_a$dan$A_h$partisi$A$:$A_h$didefinisikan menjadi$A\setminus A_a$. Jadi proposal Anda tidak berhasil.
Perbaikannya adalah itu$A_a$dan$A_h$sebenarnya lebih rumit daripada yang terlihat. Kami hanya memiliki paradoks jika kata sifat "heterologis" masuk$A$. Namun ternyata hal ini tidak terjadi: pada dasarnya, untuk mendefinisikan heretologisitas kita perlu menggunakan predikat kebenaran untuk$A$dan kami tidak memiliki salah satu dari mereka$A$itu sendiri .
Inilah salah satu cara untuk melihat paradoks dalam tindakan.
Membiarkan$\ulcorner\cdot\urcorner$menjadi fungsi penomoran Godel favorit Anda dan biarkan$Form$menjadi himpunan semua rumus orde pertama dalam bahasa aritmatika. Untuk mempermudah, mari kita tulis "$\mathbb{N}$"untuk struktur$(\mathbb{N};+,\times,0,1,<)$. Kemudian set$$X=\{\ulcorner\varphi\urcorner: \mathbb{N}\models\neg\varphi(\underline{\ulcorner\varphi\urcorner})\},$$versi dari$A_h$untuk rumus aritmatika orde pertama, tidak dapat dengan sendirinya ditentukan oleh rumus aritmatika orde pertama: jika$X$didefinisikan oleh beberapa rumus$\theta$aritmatika orde pertama, yaitu jika kita punya$$X=\{n: \mathbb{N}\models\theta(\underline{n})\}$$untuk beberapa rumus$\theta$dari aritmatika orde pertama, kita akan mendapatkan kontradiksi dengan mempertimbangkan apakah$\mathbb{N}\models\theta(\ulcorner\theta\urcorner)$.
Secara lebih umum, kita dapat menggeneralisasikan pengaturan tertentu di atas ke pengaturan apa pun di mana kita memiliki logika$\mathcal{L}$, beberapa struktur$\mathfrak{A}$, dan beberapa mekanisme "coding" yang sesuai$\mathcal{L}$-rumus ke dalam$\mathfrak{A}$. Mendapatkan detail yang benar membutuhkan beberapa pemikiran, tetapi intinya adalah bahwa paradoks Grelling mengilustrasikan fenomena "peningkatan" mendasar yang tidak dapat kita hindari: set Grelling untuk sistem logika/struktur/pengkodean tertentu tidak dapat ditentukan dalam struktur itu oleh rumus logika itu.
(Perhatikan bahwa$X$memang dapat didefinisikan dalam konteks yang lebih luas : misalnya, dapat didefinisikan dalam$\mathbb{N}$dengan rumus logika orde kedua, dan itu dapat ditentukan oleh rumus orde pertama di alam semesta set , yang mana$\mathbb{N}$membentuk bagian yang sangat kecil.)