Ketidaksamaan untuk fungsi $\arctan(x)$

Aug 17 2020

Saya ingin menunjukkan itu $$f(x) = \frac{1}{\arctan(x)} - \frac{1}{x} $$ meningkat $(0, \infty)$. Saya dapat melihat ini dengan jelas dengan memplotnya, tetapi saya berjuang untuk menuliskannya dengan teliti. Jelas sudah cukup untuk menunjukkan turunannya selalu positif dalam kisaran ini (yang juga jelas dari plotnya). Kita punya$$f'(x) = \frac{(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2}{x^2(1+x^2)\arctan^2(x)}$$ jadi sekali lagi cukup untuk menunjukkan itu $$g(x) \equiv (1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$(dan, sekali lagi, ini jelas dari merencanakannya). Saya telah melompat ke lubang kelinci untuk mengambil turunan dari$g$ juga (karena itu $0$ di $x = 0$ jadi sekali lagi cukup untuk menunjukkan itu $g' \ge 0$) dan tidak menghasilkan apa pun yang langsung berguna bagi saya. Tolong bantu jika Anda bisa

Jawaban

5 cr001 Aug 17 2020 at 02:58

$${1\over 1+x^2}\ge {1-x^2\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ yang merupakan turunan dari $${\arctan(x)}\ge {x\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$ $${2\arctan(x)\over 1+x^2}\ge {2x\over (1+x^2)^2}\quad \forall x >0$$ yang merupakan turunan dari $$\arctan^2(x) \ge {x^2\over 1+x^2}\quad \forall x >0$$

$$(1+x^2)\arctan^2(x) -x^2 \ge 0 \quad \forall x >0$$

2 PacoAdajar Aug 17 2020 at 03:04

Pertimbangkan saja $ \displaystyle g(x) = \arctan{x} - \frac{x^2}{1 + x^2}$. Catat itu$g(0) = 0$, jadi sudah cukup untuk menunjukkan itu $g'(x) = 0$ untuk $x \ge 0$.

Sekarang, $\displaystyle g'(x) = \frac{2[(1 + x^2)\arctan{x} - x]}{(1 + x^2)^2}$. Dengan demikian, cukup untuk dipertimbangkan$$h(x) = \arctan{x} - \frac{x}{(1 + x^2)},$$ dan tunjukkan itu $h(x) \ge 0$ untuk $x \ge 0$. Tapi$h(0) = 0$, dan $$h'(x) = \frac{2x^2}{(1 + x^2)^2} \ge 0$$ untuk semua $x$. Ini melengkapi buktinya.