Keunikan representasi Fourier

Aug 17 2020

Saya mulai membaca tentang analisis Fourier. Saya baru saja membaca tentang keunikan representasi Fourier. Ternyata kalau seri Fourier$\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}$ menyatu secara seragam ke $f(x)$ lalu nilai $c_n$ dipaksa menjadi nilai $\hat{f}(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 \pi n x}dx$. Ini dinyatakan seperti jika sudah jelas tetapi saya tidak mengerti mengapa. Saya tidak melihat bagaimana konvergensi seragam mulai berlaku.

Jawaban

3 reuns Aug 17 2020 at 05:16

Konvergensi seragam menyiratkan hal itu $$\int_0^1 e^{-2i\pi kx}\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}c_n e^{2\pi i n x}dx=\sum\limits_{n\in \mathbb{Z}} \int_0^1 e^{-2i\pi kx}c_n e^{2\pi i n x}dx = c_k$$