Klasifikasi kelompok Lie kompak (tidak harus terhubung)

Dec 03 2020

Saya mencari klasifikasi kelompok Lie yang kompak (tidak harus terhubung). Jelasnya, semua grup seperti itu adalah ekstensi dari "grup komponen" yang terbatas$\pi_0(G)$ oleh grup Lie yang terhubung secara kompak $G_0$: $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> G_0 @ >>> G @> p >> \ pi_0 (G) @ >>> 0 \ end {CD} Klasifikasi grup Lie terhubung kompak tidak asing bagi saya, jadi Pertanyaannya adalah bagaimana mengklasifikasikan ekstensi tersebut.


PEMBARUAN: Saya menduga hal berikut ini benar (karena @LSpice, dengan persyaratan tambahan saya itu $H$, $P$ terbatas):

Hipotesis :$G$ selalu dapat ditulis sebagai $$ G= \frac{G_0 \rtimes H}{P} $$ untuk kelompok terbatas $H,P$, dimana $P \subseteq Z(G_0 \rtimes H)$.

PEMBARUAN 2: @LSpice telah membuktikan ini di bawah untuk persyaratan yang lebih lemah itu$P$ berpotongan $G_0$ dalam $Z(G_0)$, dan memberikan contoh balasan di mana $P$ tidak bisa dianggap sentral.

PEMBARUAN 3: Lihat Klasifikasi yang ditingkatkan dari grup Lie kompak untuk pertanyaan tindak lanjut (yang tidak akan saya tulis di sini untuk menghindari kekacauan yang berlebihan.)


Klaim yang kurang berguna dari pertanyaan awal saya: apa saja $G$ dapat dibangun dari $G_0$ dalam tiga langkah:

  1. Ambil produk langsung dari $G_0$ dengan kelompok terbatas.

  2. Bagi hasilnya dengan subkelompok terbatas dari pusatnya.

  3. Perluas subkelompok hingga $\mathrm{Out}(G_0)$ dengan hasilnya.

(Langkah 3 mungkin selalu bukan produk semidirect pada umumnya.)

Jawaban

6 LSpice Dec 05 2020 at 00:26

$\DeclareMathOperator\U{U}$Pertimbangkan matriksnya $u = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ && 0 & 1 \\ && 1 & 0 \end{pmatrix}$ dan $v = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ & 0 && 1 \\ -1 && 0 \\ & -1 && 0 \end{pmatrix}$. Ini termasuk dalam kelompok terbatas dari matriks permutasi bertanda tangan, sehingga kelompok yang mereka hasilkan adalah terbatas. Taruh$G_0 = \left\{d(z, w) \mathrel{:=} \begin{pmatrix} z \\ & z^{-1} \\ && w \\ &&& w^{-1} \end{pmatrix} \mathrel: z, w \in \U(1)\right\}$. Sejak$u d(z, w)u^{-1} = d(z^{-1}, w^{-1})$ dan $v d(z, w)v^{-1} = d(w, z)$, grup $G$ dihasilkan oleh $G_0$, $u$, dan $v$ memiliki $G_0$sebagai komponen identitasnya. Sekarang biarkan$G_0 \rtimes H \to G$ menjadi penutup apa pun yang membatasi penyertaan $G_0 \to G$, dan biarkan $\tilde u$ menjadi elemen $H$ yang gambarnya terletak $u G_0$; katakanlah gambar itu$u d(z, w)$. Kemudian$\tilde u^2$ memetakan ke $(u d(z, w))^2 = u^2 = d(-1, 1)$, jadi $d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2$ terletak di $\ker(G_0 \rtimes H \to G)$. Jika$\tilde v$ adalah elemen dari $H$ yang gambarnya terletak $v G_0$, kemudian $\tilde v(d(-1, 1) \rtimes \tilde u^2)\tilde v^{-1}$ terletak di $d(1, -1) \rtimes H$, karenanya tidak sama $d(-1, 1) \rtimes H$. Itu adalah,$\ker(G_0 \rtimes H \to G)$ tidak berada di tengah $G_0 \rtimes H$.


Apa yang dapat kita lakukan adalah menemukan (secara umum, tidak hanya untuk contoh spesifik di atas) subkelompok terbatas $H$ dari $G$ sedemikian rupa sehingga peta perkalian $G^\circ \times H \to G$ bersifat dugaan, dan kernelnya terpusat $G^\circ$. (Dalam contoh spesifik di atas, kita bisa mengambil$H = \langle u, v\rangle$.)

$\DeclareMathOperator\Ad{Ad}\DeclareMathOperator\Gal{Gal}\DeclareMathOperator\Norm{Norm}\DeclareMathOperator\Weyl{W}\DeclareMathOperator\Zent{Z}\newcommand\C{{\mathbb C}}\newcommand\R{\mathbb R}\newcommand\adform{_\text{ad}}\newcommand\scform{_\text{sc}}\newcommand\X{\mathcal X}$Untuk membuktikan ini, saya akan menggunakan beberapa bagian dari teori struktur:

  1. Semua tori in maksimal $G$ adalah $G^\circ$-mengkonjugasikan.
  2. Semua subgrup Borel dari $G_\C$ adalah $G^\circ_\C$-mengkonjugasikan.
  3. Untuk setiap torus maksimal $T$ di $G$, peta $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ adalah isomorfisme.
  4. Jika $G\scform$ dan $(G_\C)\scform$ adalah sampul yang terhubung sederhana dari grup turunan dari $G^\circ$ dan $G^\circ_\C$, kemudian $(G\scform)_\C$ sama $(G_\C)\scform$.
  5. Setiap grup Lie kompak memiliki subkelompok terbatas yang memenuhi setiap komponen .

Saya hanya perlu (4) untuk membuktikannya, untuk setiap torus maksimal $T$ di $G$, peta dari $T$ ke himpunan elemen tetap konjugasi dari $T/\Zent(G^\circ)$bersifat dugaan. Ini mungkin fakta terkenal dalam dirinya sendiri untuk teori kelompok nyata.

Sekarang pertimbangkan tiga kali lipat $(T, B_\C, \X)$ sebagai berikut: $T$ adalah torus maksimal dalam $G$; $B_\C$ adalah subgrup Borel dari $G^\circ_\C$ mengandung $T_\C$, dengan kumpulan akar sederhana yang dihasilkan $\Delta(B_\C, T_\C)$; dan$\X$ adalah himpunan yang terdiri dari sinar nyata di setiap ruang akar sederhana kompleks (yaitu, himpunan perkalian nyata positif dari beberapa$0$vektor). (Maaf tentang pasangan pengubah "kompleks sederhana".) Saya akan menyebutnya 'penjepit', meskipun tidak sesuai dengan terminologi biasa (di mana kita memilih vektor akar individu, bukan sinar). Saya mengklaim itu$G^\circ/\Zent(G^\circ)$ bertindak hanya secara transitif di set pinnings.

Begitu kita memiliki transitivitas, kebebasan menjadi jelas: jika $g \in G^\circ$ menstabilkan beberapa pasangan $(T, B_\C)$, lalu terletak $T$, dan dengan demikian menstabilkan setiap ruang akar yang kompleks; tapi kemudian, untuk menstabilkan beberapa pilihan sinar$\X$, itu harus memiliki properti itu $\alpha(g)$ positif dan nyata untuk setiap root sederhana $\alpha$; tetapi juga$\alpha(g)$ adalah sebuah norma-$1$ bilangan kompleks, jadi sepele, untuk setiap akar sederhana $\alpha$, karenanya untuk setiap root $\alpha$, yang seperti itu $g$ adalah pusat.

Untuk transitivitas, karena (1) semua tori in maksimal $G$ adalah $G^\circ$-conjugate, jadi (2) untuk setiap torus maksimal $T$ di $G$, grup Weyl $\Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ bertindak secara transit di subgrup Borel dari $G^\circ_\C$ mengandung $T_\C$, dan (3) $\Weyl(G^\circ, T) \to \Weyl(G^\circ_\C, T_\C)$ adalah isomorfisme, itu cukup untuk menunjukkan bahwa semua himpunan yang mungkin $\X$berkonjugasi. Inilah argumen yang saya kemukakan untuk menunjukkan bahwa mereka seimbang$T$-mengkonjugasikan; Saya pikir itu mungkin bisa dibuat jauh lebih tidak canggung. Perbaiki root sederhana$\alpha$, dan dua non-$0$ elemen $X_\alpha$ dan $X'_\alpha$dari ruang root yang sesuai. Lalu ada bilangan real positif$r$ dan norma-$1$ bilangan kompleks $z$ seperti yang $X'_\alpha = r z X_\alpha$. Pilih norma-$1$ bilangan kompleks $w$ seperti yang $w^2 = z$. Kemudian ada elemen unik$s\adform$ dari $T_\C/\Zent(G^\circ_\C)$ seperti yang $\alpha(s\adform) = w$, dan $\beta(s\adform) = 1$ untuk semua akar sederhana $\beta \ne \alpha$. Dengan (4), kita bisa memilih lift$s\scform$ dari $s\adform$ untuk $(G\scform)_\C = (G_\C)\scform$, yang tentu saja terletak pada preimage $(T_\C)\scform$ dari (persimpangan dengan subkelompok turunan dari) $T$, dan letakkan $t\scform = s\scform\cdot\overline{s\scform}$. Kemudian$$ \alpha(t\scform) = \alpha(s\scform)\overline{\overline\alpha(s\scform)} = \alpha(s\scform)\overline{\alpha(s\scform)^{-1}} = w\cdot\overline{w^{-1}} = z, $$ dan, demikian pula, $\beta(t\scform) = 1$ untuk semua akar sederhana $\beta \ne \alpha$. Sekarang gambarnya$t$ dari $t\scform$ di $G^\circ_\C$ terletak di $T_\C$ dan ditetapkan melalui konjugasi, karenanya terletak $T$; dan$\Ad(t)X_\alpha = z X_\alpha$ terletak pada sinar tembus $X'_\alpha$.

Sejak $G$ juga bertindak pada set pinnings, kami memiliki peta yang terdefinisi dengan baik $p : G \to G^\circ/\Zent(G^\circ)$ yang membatasi proyeksi natural $G^\circ$. Sekarang$\ker(p)$ memenuhi setiap komponen, tetapi mengandung $\Zent(G^\circ)$, jadi tidak perlu terbatas. Menerapkan (5) ke grup Lie$\ker(p)$ menghasilkan subkelompok yang diinginkan $H$. Perhatikan bahwa, seperti yang diminta dalam klasifikasi Anda yang ditingkatkan , konjugasi dengan elemen apa pun dari$H$ memperbaiki sebuah pin, oleh karena itu, jika di dalam, harus sepele.