Kohomologi Bredon dari tindakan permutasi pada $S^3$
Saya telah melihat beberapa pertanyaan serupa yang meminta untuk memverifikasi perhitungan cohomology Bredon di sini dan di sini , jadi saya akan menanyakan satu pertanyaan seperti itu sendiri.
Membiarkan $\mathbb{Z}/2$ bertindak $S^3\subset \mathbb{C}^2$ dengan membatasi tindakan permutasi pada $\mathbb{C}^2.$ Saya ingin menghitung kohomologi Bredon $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}}).$
Saya memiliki dekomposisi sel berdasarkan dekomposisi kompleks $1$-dimensi disk menjadi $3$ sel: $\mathbb{D}=D\sqcup T\sqcup *.$ Sini $T\sqcup *=S^1=\partial \mathbb{D}$ dan $D$ adalah bagian dalam $\mathbb{D}.$ Kemudian kami memiliki dekomposisi $S^3=\mathbb{D}\times S^1 \cup S^1\times \mathbb{D}$ ke dalam sel yang kompatibel dengan $\mathbb{Z}/2$ tindakan.
Kumpulan titik tetap dari suatu tindakan adalah lingkaran yang diberikan oleh $\{z_1=z_2\}\cap S^3\subset \mathbb{C}^2.$ Sejak kategori orbit $\mathbb{Z}/2$ terdiri dari $*$ dan $\mathbb{Z}/2$ ada rantai ekuivarian berikut: \ begin {array} {| c | c | c | c |} \ hline \ operatorname {dim} & * & \ mathbb {Z} / 2 & \ operatorname {sel sesuai dengan} \ underline {C} _n (S ^ 3) (\ mathbb {Z} / 2) \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} & \ mathbb {Z} & * \ times * \\ 1 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z }, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & T \ times *, * \ times T \\ 2 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb {Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix}; \; \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1} } \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \ end {pmatrix} & D \ times *, * \ times D, T \ times T \\ 3 & 0 & \ mathbb {Z} \ oplus \ mathbb { Z}, \ quad \ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ xrightarrow {\ overline {1}} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} & D \ times T, T \ kali D \\ \ hline \ end {array}
Jadi tampaknya cochains itu dihargai $\underline{\mathbb{Z}}$ adalah:
\ mulai {larik} {| c | c |} \ hline \ nama operasi {redup} & \\ \ hline 0 & \ mathbb {Z} \\ 1 & \ mathbb {Z} \\ 2 & \ mathbb {Z} \ \ 3 & \ mathbb {Z} \\ \ hline \ end {larik} Sejak$(T\times T)^*=0$ di cochains, kami punya $\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}.$ Diferensial $d_1$ adalah isomorfisme sejak $\partial(D\times *)=T\times *.$ Tampaknya $\mathcal{H}^*_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=H^*(S^3;\mathbb{Z}).$
Agak aneh bagi saya bahwa hasil bagi adalah bidang homologis. Tentu, grupnya$\mathcal{H}^3_{\mathbb{Z}/2}(S^3;\underline{\mathbb{Z}})=\mathbb{Z}$ karena orientasi dipertahankan, tetapi mungkin saya melewatkan beberapa $2$-torion dalam derajat yang lebih rendah?
Jawaban
Jawaban akhir Anda benar, tetapi struktur sel yang Anda gunakan bukanlah a $G$-CW struktur: $T\times T$ tidak dapat digunakan sebagai sel dengan cara ini.
Saya akan mendekatinya seperti ini: Tindakan dari $G = {\mathbb Z}/2$ di $\mathbb{C}\times\mathbb{C}$ bisa ditulis sebagai representasi $\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma$, dimana $G$ bertindak sepele $\mathbb{C}$ dan dengan negasi $\mathbb{C}^\sigma$. Bola$S(\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}^\sigma)$ juga merupakan pemadatan satu titik $S^{1+2\lambda}$, dimana $\lambda$ menunjukkan garis nyata dengan $G$bertindak dengan negasi. Ini memiliki$G$Struktur -CW dengan
- satu $G$-tetap 0-sel,
- satu $G$-tetap 1-sel,
- satu $G$-gratis 2-sel, dan
- satu $G$-gratis 3-sel,
sehingga skeleta itu $*$, $S^1$, $S^{1+\lambda}$, dan $S^{1+2\lambda}$. Dari sini Anda dapat mengetahui bahwa file$\underline{\mathbb{Z}}$kompleks -cochain adalah $$ \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \xrightarrow{0} \mathbb{Z}. $$
Cara untuk memastikan bahwa jawabannya benar adalah dengan menulis $$ H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0) \oplus \tilde H_G^n(S^{1+2\lambda}) \cong \tilde H_G^n(S^0)\oplus \tilde H_G^{n-1-2\lambda}(S^0) $$ lalu gunakan kalkulasi yang diketahui dari $RO(G)$cohomology -graded suatu titik (awalnya karena Stong (tidak diterbitkan), sejak diterbitkan di berbagai tempat).