Komposisi orientasi melestarikan dan membalikkan homeomorfisme
Membiarkan $S^1$ menjadi lingkaran unit dan $f:S^1 \to S^1$ adalah homeomorfisme.
Kami bilang $f$ adalah orientasi melestarikan homeomorfisme jika ada pengangkatan $f$ ke ruang penutup $\mathbb{R}$ meningkat secara ketat dan disebut pembalikan orientasi jika ada pengangkatan $f$ ke ruang penutup $\mathbb{R}$ menurun drastis.
Sekarang saya punya pertanyaan tentang mereka:
1- Saya ingin membuktikan bahwa ada homeomorfisme $f:S^1 \to S^1$ apakah orientasi melestarikan atau sebaliknya orientasi terbalik.
2- Komposisi dari orientasi yang mempertahankan homeomorfisme dan pembalikan orientasi adalah pembalikan orientasi.
3- Jika $a,b \in S^1$ kemudian $f$ adalah orientasi melestarikan jika $f(a,b)=(f(a),f(b))$.
Dan juga mengapa derajat homeomorfisme bisa $1$ atau $-1$dan apakah itu terkait dengan pertanyaan 2? karena kita tahu$deg(fog)=deg(f)deg(g)$
Jawaban
Mari kita tunjukkan dulu
Setiap injeksi kontinyu $\phi : J \to \mathbb R$ ditentukan pada suatu interval $J \subset \mathbb R$meningkat atau menurun tajam. (Perhatikan bahwa interval mungkin terbuka, setengah terbuka, tertutup / dibatasi, tidak dibatasi.)
Bukti. Membiarkan$H = \{(x,y) \in J \times J \mid x < y \}$. Mudah untuk memverifikasi bahwa ini adalah subset cembung dari$\mathbb R^2$, dengan demikian itu adalah jalan yang terhubung dan sebuah fortiori terhubung.
Membiarkan $A = \{(x,y) \in H \mid \phi(x) < \phi(y) \}$ dan $B= \{(x,y) \in H \mid \phi(x) > \phi(y) \}$. Jelas$A \cap B = \emptyset$ dan $A \cup B = H$ (catatan $\phi(x) = \phi(y)$ menyiratkan $x = y$ karena $\phi$bersifat suntik). Sejak$\phi$ terus menerus, keduanya $A$ dan $B$ terbuka $J \times J$, dengan demikian juga terbuka $H$. Sejak$H$ terhubung, salah satu $A$ atau $B$ harus $= H$ Dan lainnya $= \emptyset$. Artinya itu$\phi$ meningkat atau menurun tajam.
Selanjutnya mari kita tunjukkan
Jika $H : \mathbb R \to \mathbb R$ adalah pengangkatan dari homeomorfisme $h : S^1 \to S^1$, kemudian $H$ adalah homeomorfisme.
Bukti. Membiarkan$p : \mathbb R \to S^1, p(t) = e^{2\pi it}$, jadilah peta penutup standar. Sebagai lift$f : S^1 \to S^1$ kami menunjukkan peta apa pun $F : \mathbb R \to \mathbb R$ seperti yang $p \circ F = f \circ p$.
Anda pasti tahu itu jika $F,F'$ adalah lift dari $f$, kemudian $$(*) \phantom x F'(t) = F(t) + k \text{ for all } t \text{ with a } \textbf{fixed } k \in \mathbb Z. $$ Faktanya, kami punya $e^{2\pi i(F(t) -F'(t))} = e^{2\pi iF(t)}/e^{2\pi i F'(t)} = (p \circ F)(t)/ (p \circ F')(t) = (f \circ p)(t)/ (f \circ p)(t) = 1$, jadi $(F - F')(t) = F(t) -F'(t) \in \mathbb Z$ dan dengan kontinuitas $F - F'$ kami melihat itu $(F - F')(t) = k$untuk beberapa diperbaiki $k \in \mathbb Z$. Artinya itu$F' = \tau_k \circ F$ dengan homeomorfisme terjemahan $\tau_k : \mathbb R \to \mathbb R, \tau_k(t) = t + k$.
Jika $F, G$ adalah lift dari $f, g$, kemudian $p \circ G \circ F = g \circ p \circ F = g \circ f \circ p$, jadi $G\circ F$ adalah lift dari $g \circ f$.
Membiarkan $h$ menjadi homeomorfisme dengan homeomorfisme terbalik $h^{-1}$ dan biarkan $H, \bar H$ menjadi lift $h, h^{-1}$. Kemudian$\bar H \circ H$ adalah lift dari $h^{-1} \circ h = id$. Sejak itu juga$id : \mathbb R \to \mathbb R$ adalah lift dari $id : S^1 \to S^1$, kita mendapatkan $(\tau_k \circ \bar H ) \circ H = \tau_k \circ (\bar H \circ H) = id$ untuk beberapa $k \in \mathbb Z$. Begitu pula yang kita dapatkan$H \circ \bar H = \tau_r \circ id = \tau_r$ untuk beberapa $r \in \mathbb Z$. Yang terakhir menyiratkan$H \circ (\bar H \circ \tau_r^{-1}) = id$. Jadi$H$ memiliki kebalikan kiri $H' = \tau_k \circ H$ dan kebalikan kanan $H'' = \bar H \circ \tau_r^{-1}$. Tapi sekarang$H'' = id \circ H'' = H' \circ H \circ H'' = H' \circ id = H'$, jadi $H$ adalah homeomorfisme dengan kebalikan $H^{-1} = H' = H''$.
Pertanyaan Anda 1 dijawab oleh dua teorema di atas.
Dengan rumus derajat $\deg(f \circ g) = \deg(g)\deg(f)$ kita melihat bahwa homeomorfisme apapun $h$ memiliki gelar $\pm 1$ (sejak $\deg(id) = 1)$). Faktanya,$\pm 1$ adalah satu-satunya elemen $\mathbb Z$yang memiliki pembalikan perkalian. Membiarkan$H$ menjadi tumpangan $h$. Jadi, ini adalah homeomorfisme$H$meningkat atau menurun tajam. Dalam kasus pertama itu harus berderajat positif, dalam kasus kedua harus berderajat negatif. Jadi
Sebuah homeomorfisme adalah orientasi yang melestarikan jika memiliki derajat 1; Ini adalah orientasi pembalikan jika memiliki derajat -1.
Dengan demikian rumus derajat juga menjawab pertanyaan Anda 2.
Mengenai 3.: Tidak tepat bagaimana Anda mendefinisikan "interval terbuka" $(a,b) \subset S^1$. Sepertinya jika$a, b \in S^1$ adalah dua titik yang berbeda, lalu Anda bergerak berlawanan arah jarum jam $a$ untuk $b$ dan semua poin di antaranya $a$ dan $b$ merupakan $(a,b)$. Saya pikir jawaban saya untuk set Terbuka pada lingkaran unit$S^1$menjelaskannya dengan lebih tepat. Interval terbuka$(a,b) \subset S^1$ tepatnya adalah gambarnya $p((s,t))$ interval terbuka $(s,t) \subset \mathbb R$ seperti yang $0 < t - s < 1$, dimana kita punya $a = p(s)$ dan $b = p(t)$. Mari kita tunjukkan bahwa orientasi melestarikan homeomorfisme$h$ peta $(a,b)$ ke $(h(a),h(b))$.
Jelas $h(a) \ne h(b)$. Membiarkan$H$ menjadi tumpangan $h$. Kemudian$H(s) < H(t)$ dan $H$ peta $(s,t)$ homeomorfis ke $(H(s),H(t))$. Kita punya$p(H(s)) = h(a), p(H(t)) = h(b)$ dan $0 < H(t) - H(s) < 1$. Tentang ketimpangan terakhir: Jika$H(t) - H(s) = 1$, kemudian $h(b) = h(a)$yang tidak mungkin. Jika$H(t) - H(s) > 1$, kemudian $p \mid_{(H(s),H(t))}$ tidak suntik, jadi $p \circ H \mid_{(s,t)}$ bukan injeksi yang merupakan kontradiksi sejak $p \circ H \mid_{(s,t)} = h \circ p \mid_{(s,t)} = h \mid_{(a,b)}$.