kondisi pada bilangan kompleks untuk membentuk segiempat siklik.
Pertimbangkan bilangan kompleks $z,z^2,z^3,z^4$dalam urutan yang membentuk segiempat siklik. Jika$\arg z=\alpha$ dan $\alpha$ terletak di $[0,2\pi]$Temukan nilainya $\alpha$ bisa ambil.
Saya menemukan pertanyaan ini dalam satu ujian kompetitif. Saya mencoba menggunakan properti segiempat siklik untuk mendapatkannya $$\arg\left(\frac{z^3-z^4}{z-z^4}\right)+\arg\left(\frac{z-z^2}{z^3-z^2}\right)=\pi$$ Ini dapat disederhanakan lebih lanjut tetapi tidak membantu.
Saya juga mencoba menggunakan teorema koni tetapi tidak ada gunanya. Jawaban yang diberikan adalah alpha terletak$(0,\frac{2\pi}{3})and(\frac{4\pi}{3},2\pi)$
Jawaban
Berikut adalah cara alternatif untuk merender $|z|=1$ - dengan induksi matematis, dari semua hal.
Seandainya $z,z^2,z^3,z^4$ berbaring di atas lingkaran untuk bukan nol $z$. Kemudian melalui mengalikan semua elemen dengan$z$ kami menyimpulkan itu $z^2,z^3,z^4,z^5$ juga terletak pada sebuah lingkaran, yang harus sama dengan lingkaran pertama karena tiga titik yang tumpang tindih $z^2,z^3,z^4$. Demikian pula$z^6,z^7,...$ berbaring di lingkaran yang sama.
Sekarang pergi ke arah lain. Diberikan$z,z^2,z^3,z^4$ pada lingkaran bagi dengan $z$, kemudian $1,z,z^2,z^3$juga berbaring di atas lingkaran yang lagi-lagi sama dengan yang pertama. Mengulangi proses ini kami temukan$z^{-1},z^{-2},...$ juga berbaring di lingkaran ini.
Jadi lingkaran yang sama berisi semua titik dengan bentuknya $z^n$ untuk semua bilangan bulat $n$, positif, negatif dan nol. Tetapi lingkaran itu harus dibatasi dan kumpulan kekuatan yang baru saja diidentifikasi dibatasi hanya untuk$|z|=1$.
Diberikan $|z|=1$, bagaimana argumen dibatasi adalah masalah definisi. Jika kita membutuhkan poin$z,z^2,z^3,z^4$ untuk berada dalam urutan rotasi di segiempat, maka kita harus memiliki salah satu dari dua kasus:
Jika urutannya berlawanan arah jarum jam, maka $0<\alpha<2\pi/3$ karena untuk mempertahankan tatanan rotasi harus kita miliki $\arg z^4-\arg z=3\alpha<2\pi$.
Jika urutannya searah jarum jam, maka pangkatnya terbalik $z^{-1},z^{-2},z^{-3},z^{-4}$ berada dalam urutan berlawanan arah jarum jam dan sekarang kami membutuhkannya $\arg z^{-4}-\arg z^{-1}=3\alpha<2\pi$. Ini memberikan set kedua$4\pi/3<\alpha<2\pi$ jika ada argumen yang masuk $[0,2\pi)$.
Namun, boleh dibilang, titik-titik tersebut masih terletak pada lingkaran meskipun tidak dalam urutan rotasi ini, sehingga siklik segiempat tetap ada kecuali jika dirosotkan oleh pasangan simpul yang bertepatan. Kebetulan seperti itu hanya terjadi jika$n\alpha$ adalah kelipatan dari $2\pi$ untuk $n\in\{1,2,3\}$. Jadi dari sudut pandang ini$\alpha$ bisa menjadi apa saja $[0,2\pi]$ kecuali $0,2\pi/3,\pi,4\pi/3,2\pi$.
Dengan Ptolemy kami memperoleh: $$|z-z^2|\cdot|z^3-z^4|+|z-z^4|\cdot|z^2-z^3|=|z-z^3|\cdot|z^2-z^4|$$ atau $$|z|+|z^2+z+1|=|(z+1)^2|.$$ Sekarang, kita bisa menggunakan pertidaksamaan segitiga.
Id est, untuk $|z|=r$ kami memperoleh: $$(\cos\alpha,\sin\alpha)||(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1,r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha),$$ yang memberikan $$\sin\alpha(r^2\cos2\alpha+r\cos\alpha+1)=\cos\alpha(r^2\sin2\alpha+r\sin\alpha)$$ atau $$\sin\alpha=r^2\sin\alpha$$ dan sejak $\sin\alpha\neq0$, kami dapatkan $r=1$.
Seperti dalam solusi Michael, gunakan Ptolemy untuk mendapatkan $|z|+|z^{2}+z+1|=|z^{2}+2z+1|$.
Lihat gambarnya, jelas itu $|z^{2}|=1$ dan akibatnya $|z|=1$. Untuk$-\frac{2\pi}{3}\leq\alpha\leq\frac{2\pi}{3}$persamaan tersebut valid. Petunjuk: di sudut mana$\alpha$ melakukan arah $z^{2}+z+1$ menjadi kebalikan dari $z$?
Untuk masalah modulus, mari kita gunakan persamaan klasik (lihat di sini ):
$$a,b,c,d \ \text{constitute a cyclic quadrilateral} \ \iff \ $$ $$\underbrace{[a,c;b,d]}_{\text{cross ratio}}=\frac{(b-a)}{(b-c)} /\frac{(d-a)}{(d-c)} \ \text{is real}\tag{1}$$
Dalam kasus kami, (1) menjadi:
$$[z,z^3;z^2,z^4]=\left(\frac{z^2-z}{z^2-z^3}\right) \times \left(\frac{z^4-z^3}{z^4-z}\right) \in \mathbb{R}\tag{2}$$
Mempertimbangkan berbagai penyederhanaan yang berasal dari $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$, (2) setara dengan:
$$z+1+\tfrac{1}{z} \in \mathbb{R} \ \iff \ Im\left(z+1+\tfrac{1}{z}\right)=0$$
sebaliknya dikatakan, dengan $z=re^{i\theta}$,
$$(r-\tfrac1r) \sin(\theta)=0$$
sebagai $\theta \ne k \pi$ (nilai seperti itu akan memberikan segiempat yang merosot), kami harus $r-\tfrac1r=0$, memberi $r=1$.
Untuk masalah sudut, mari kita asumsikan$z=re^{i \theta}$ dengan $0<\theta<\pi$ tanpa kehilangan keumuman (ini terserah simetri sehubungan dengan $x$-sumbu). Itu sama dengan membuat alasan$1,z,z^2,z^3$ yang merupakan poin yang diperoleh $z,z^2,z^3,z^4$ oleh a $-\theta$rotasi. Jelas secara geometris bahwa kondisi yang diperlukan adalah itu$z^3$ memiliki argumen kurang dari $2 \pi$ (jika tidak, urutan poin $1$ dan $z^3$tidak akan dihormati). Keadaan ini$arg(z^3)<2 \pi$ memberi
$$0<3\alpha<2\pi \ \iff \ 0<\alpha<2\pi/3\tag{3}$$
Apalagi kondisi ini sebenarnya sudah mencukupi: semua $\alpha$Verifikasi (3) memberikan solusi yang memadai.