Kondisi yang diperlukan (dan cukup) agar produk matriks berikut menjadi pasti positif simetris?

Aug 16 2020

Perbaiki beberapa $n\times n$ matriks pasti positif simetris $A$. Pertimbangkan produk matriks berikut,

$$B = AC$$

dimana $C$ adalah sewenang-wenang $n\times n$matriks. Diberikan$A$, Saya ingin tahu apakah diketahui kondisi yang diperlukan dan mencukupi pada semua matriks persegi $C$ sedemikian rupa sehingga matriks yang dihasilkan $B$apakah juga pasti positif simetris? Saya lebih tertarik untuk mengetahui (jika mungkin) kondisi yang diperlukan.

Edit:

Saya hanya peduli dengan matriks nyata.

Jawaban

2 ChrisRamsey Aug 16 2020 at 08:22

Jika $C$ adalah matriks nyata positif pasti yang bepergian dengan $A$ kemudian $AC = C^{1/2}AC^{1/2}$yang pasti positif. Jadi ini tentunya kondisi yang cukup.

Namun, itu jauh dari kebutuhan. Pertimbangkan itu$$ \left[\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}5 & 4 \\ 4 & 8\end{matrix}\right]. $$

Saya tidak yakin akan ada kondisi bagus yang sepenuhnya menggambarkan hal itu $C$.

Salah satu syarat yang diperlukan adalah itu $$ AC = (AC)^T = C^TA \ \ \ \ \textrm{or} \ \ \ ACA^{-1} = C^T $$ Jika di samping $C$ simetris kemudian bolak-balik $A$ lalu $A^{1/2}CA^{1/2} = AC > 0$ yang menyiratkan itu $C$ pasti positif sejak $A^{-1}$ positif juga.

Bukan jawaban yang lengkap, tapi hanya itu yang saya miliki untuk saat ini.