Konsep opsi mulai maju

Question

Mempertimbangkan $t_0<t<T$, dengan $t_0=0$ (tanggal hari ini) dan pembayaran standar dari opsi panggilan mulai maju vanilla,

$F_{t,T} = (S_T - S_t\cdot K)^+$, dengan pemogokan $K$.

Jika harga opsi ini dikutip hari ini pada $t_0$, lalu kita dapat menyimpulkan beberapa jenis volatilitas tersirat Black-Scholes $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ yang harga BS terkait sesuai dengan harga pasar (pada $t_0$).

Sekarang, tunjukkan volatilitas yang tersirat BS pada waktunya $t$ dari opsi panggilan dengan pembayaran di atas pada $\hat{\sigma}(t,T,K,S_t)$. Jelas, dari sudut pandang$t_0$ ini tidak diketahui sebagai kutipan pasar untuk tanggal $t$ belum ada.

Pertanyaan saya adalah bagaimana caranya $\sigma_{imp}(t_0, K, t, T)$ berhubungan dengan yang tidak diketahui $\hat{\sigma}_{imp}(t,T,K,S_t(\omega)$? Apakah yang pertama hanyalah proxy dari yang kedua?

Saya sadar jawabannya mungkin sudah jelas tetapi saya mencoba meyakinkan diri sendiri dan lebih memahami konsep dalam bibliografi. Referensi / makalah yang mudah dibaca yang menjelaskan semua hal di atas sangat kami hargai.

Answer 1

Forward-Start Options adalah sekuritas yang sangat menarik, Anda dapat menemukan banyak hal tentangnya di internet. Ternyata ada formula harga eksplisit untuk mereka di Black-Scholes, penurunan terbaik yang dapat saya temukan diberikan dalam makalah ini - rumus harga diberikan oleh:

Sedangkan untuk volatilitas tersirat ke depan, ternyata ada beberapa cara untuk mendefinisikannya. Dalam BS biasa, volatilitas bersifat deterministik setiap saat, jadi vol tersirat ke depan hanya akan sama dengan vol tersirat sekarang. Namun, hal-hal menjadi lebih menarik dalam model Vol Lokal (yang dapat dianggap sebagai generalisasi BS), di mana model vol deterministik dan model vol stokastik memberikan permukaan vol maju SANGAT berbeda - Saya menulis sedikit tentang ini (dengan grafik dan kode) di jawaban lain .

Jika ini menarik, ternyata bahkan dalam model volume stokastik Heston kita dapat menemukan rumus semi-analitis untuk opsi ini, misalnya yang diberikan di sini ...

Jika Anda ingin bereksperimen sendiri, casing Vol Lokal dan casing Heston memiliki mesin harga analitik (dan juga monte-carlo) yang tersedia melalui QuantLib.