Kontinuitas Pencabutan Deformasi yang Tidak Biasa

Question

Misalkan kita diberi rantai ruang topologi yang dapat dihitung $X_0 \subset X_1 \subset X_2 \subset \cdots$ dan biarkan $X = \bigcup_n X_n$; dan anggaplah lebih jauh untuk masing-masing$n$ kami memiliki pencabutan deformasi $F_n : X_{n+1} \times I \to X_n$. Saya ingin membuat pencabutan deformasi dari$X$ untuk $X_0$ dengan melakukan $F_n$ dalam interval waktu $[1/2^{n+1}, 1/2^n]$, memegang setiap poin $X_{n+1} - X_n$ stasioner di luar interval ini.

Saya mengalami masalah saat menunjukkan bahwa peta ini berkelanjutan. Kita bisa mendapatkan kontinuitas$X \times (0,1]$ mudah dari lemma tempel, tetapi saya tidak tahu cara memperbesar ini ke semua $X \times I$, karena perilaku fungsi yang aneh pada awal interval.

EDIT: Baru saja mempelajari peta tidak berkelanjutan secara umum, jadi biarkan $X$ menjadi kompleks CW dan $X_n$adalah skeleta terkait.

Answer 1

Itu tidak benar secara umum, jadi Anda harus mencari tahu hipotesis tambahan apa yang diperlukan untuk membuktikan dan benar dalam aplikasi apa pun yang Anda pikirkan.

Untuk counterexample sederhana, ambil $$X = S^1 = \{(\cos(2 \pi \theta),\sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (0,1]\} \subset \mathbb R^2 $$dengan topologi subruang. Dan kemudian ambil$$X_n = \{(\cos(2 \pi \theta), \sin(2 \pi \theta) \mid \theta \in (1/n,1] \} \subset X $$juga dengan topologi subruang. Setiap$X_n$ deformasi memendek ke $(1,0)$, tapi $S^1$ tidak deformasi ditarik kembali $(1,0)$.

---

Saya akan membuang satu situasi yang menarik dan luas di mana hal itu berhasil secara umum, yaitu di mana $X$adalah kompleks CW. Topologi CW dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa ekstensi terus menerus$X \times [0,1]$ ada.