Konvergensi seragam dari integral

Aug 20 2020

Saya mencoba memahami ini untuk pertama kalinya. Saya harus memeriksa apakah$\int_{0}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx$konvergen seragam atau tidak. Dugaan saya itu tidak konvergen jika$\alpha \in ]0,\infty[$tapi saya tidak 100% yakin apakah saya membuktikannya dengan benar, atau bagaimana membuktikannya. Jadi yang telah saya lakukan adalah:

Mari kita asumsikan bahwa konvergen seragam. Lalu ada$p \in \mathbb{N}$ seperti yang $\forall \alpha \in]0,\infty[$ $$\left\lvert \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \right\lvert < something$$ tidak yakin nomor apa untuk dimasukkan ke dalam "sesuatu" untuk kontradiksi.

Dan jika ini benar maka fungsinya $$f(\alpha)= \int_{p}^{\infty} e^{-\alpha x}sin(x)dx \hspace{0.1cm} , \alpha \in ]0,\infty[$$terikat. saya tahu itu$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha)$tidak ada. Apakah ini kontradiksi? Mengapa ini bertentangan dengan fakta itu$f$terikat? (jika$\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \infty$ Saya tidak akan ragu, tetapi tidak - batasnya tidak ada jadi saya tidak tahu bagaimana membenarkannya).

Saya harap saya jelas tentang keraguan saya. Terima kasih!

Jawaban

2 RRL Aug 20 2020 at 15:18

Integral konvergen seragam untuk $\alpha \in [a,\infty)$ dimana $a > 0$ oleh uji-M Weierstrass, tetapi tidak pada $(0,\infty)$.

Untuk integral pertama, dengan $\alpha_n = (2n\pi + \pi)^{-1} \in (0,\infty)$ kita punya

$$\left|\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} e^{-\alpha_nx_n} \sin x \, dx\right|\geqslant e^{-(2n\pi+\pi) \alpha_n}\int_{2n\pi}^{2n\pi+\pi} \sin x \, dx = 2 e^{-(2n\pi+\pi)\alpha_n}= 2e^{-1}$$

Karena RHS tidak menyatu $0$ sebagai $n \to \infty$, kriteria Cauchy untuk konvergensi seragam dilanggar.