Konvergensi seragam urutan hampir di mana-mana nol fungsi
Membiarkan $B([a , b])$ menjadi ruang fungsi terbatas dan terukur dari interval terbatas tertutup $[a , b]$ ke $\mathbb R$diberkahi dengan norma sup. Saya tahu bahwa ini adalah ruang Banach.
Sekarang perhatikan subruang vektor berikut ini $B([a , b])$:
$$L_{0} = \{ f : [a , b] → R │ f = 0 \text{ almost everywhere} \}$$
Bagaimana menunjukkannya $L_{0}$ adalah subruang tertutup dari $B([a , b])$.
Upaya saya adalah sebagai berikut:
Membiarkan $f \in B([a , b])$ menjadi titik batas $L_{0}$. Lalu ada urutan$( f_{n} )$ di $L_{0}$ seperti yang $f_{n} → f$ seragam dan karenanya $f_{n} (x) = f (x)$ untuk semua $x \in [a , b]$. Sekarang sejak$f_{n} = 0$ ae untuk semua $n\in\mathbb N$ dan karena persimpangan yang dapat dihitung dari subset ukuran penuh adalah subset pengukuran penuh karenanya $f = 0$ae Setiap koreksi jika saya salah sangat dihargai. Terima kasih atas bantuannya.
Jawaban
Membiarkan $(f_n)\in L_0^{\mathbb N}$ urutan $L_0$ yang menyatu dengan suatu fungsi $f$. Khususnya,$f_n(x)\to f(x)$ ae dan dengan demikian $f=0$ ae Oleh karena itu, $L_0$ ditutup secara berurutan dan dengan demikian ditutup.