Korespondensi antara aljabar operator puncak matematikawan dan fisikawan (VOA)

Question

Saya memiliki beberapa keraguan konseptual untuk dijernihkan, dalam hal menyatukan apa yang kita pelajari dari aljabar operator verteks (VOA) dalam teori medan konformal, dan bagaimana hal itu didefinisikan oleh seorang ahli matematika, katakanlah dari buku Kac . Khususnya:

• Karena korespondensi bidang negara, dapatkah kita sama-sama memikirkannya $V$ sebagai ruang bidang, bukan ruang negara?
• Jika kita punya $a,b \in V$, dan kami ingin menemukan, $a_{-1}b$, dalam notasi fisikawan, apa yang sebenarnya setara dengan ini?
• Saya menganggap keadaan nol $v \in V$ sedemikian rupa sehingga untuk norma yang sesuai $||v|| = 0$ namun, $V$ tidak dianggap sebagai ruang bernorma dalam aksioma VOA, jadi bagaimana keadaan nol didefinisikan dalam konteks ini?

Answer 1

• Iya.

• Dalam kasus aljabar Virasoro, kita memiliki mode dekomposisi $T(y)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{L_n}{(y-z)^{n+2}}$, jadi $(L_{-1}T)(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_z dy\ T(y)T(z)$.

• Tidak perlu memiliki norma untuk mendefinisikan status nol. Dalam kasus aljabar Virasoro, keadaan nol adalah keadaan yang dimatikan oleh mode pemusnahan$L_{n>0}$, sekaligus menjadi negara keturunan.