Luas total lingkaran tak berhingga yang bersarang dalam segitiga sama sisi.
Diketahui bahwa jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah 1, berapa luas total dari lingkaran tak berhingga pada gambar di atas?
Saya tahu cara menyelesaikan sebagian dari masalah, mengikuti langkah-langkah di situs ini .
Tapi masalahnya adalah sisa lingkarannya. Saya mencoba membuat beberapa aljabar menggunakan kasus khusus (di mana salah satu lingkaran adalah garis) dari teorema Descarte , tetapi saya tidak menemukan pola untuk menulis rangkaian dan kemudian menemukan jumlahnya.
Bagaimana saya bisa menemukan luas lingkaran yang tersisa, yang ditunjukkan dengan warna merah pada gambar di bawah?
Jawaban
Menurut teori lingkaran Ford , lingkaran menyentuh memuaskan$$\frac{1}{\sqrt{r_M}}=\frac{1}{\sqrt{r_L}}+\frac{1}{\sqrt{r_R}}$$
Dalam kasus soal yang diberikan, setiap lingkaran menyentuh dua lingkaran besar yang unik. Jika kita berkonsentrasi hanya pada satu cabang himpunan (sepertiga lingkaran), lingkaran pusat memiliki jari-jari$1$ dan lingkaran terbesar berikutnya memiliki jari-jari $1/3$dengan kesamaan. Lingkaran menyentuh mereka memiliki jari-jari$1/(1+\sqrt3)^2$ dengan rumus di atas.
Setiap lingkaran dapat diwakili oleh sepasang bilangan bulat $(m,n)$ yang merupakan jumlah dari indeks induknya, dan memiliki jari-jari $r_{n,m}$ diberikan oleh $\frac{1}{(m+n\sqrt{3})^2}$, menggunakan rumus di atas. Diagram berikut hanya mewakili satu keluarga lingkaran yang dihasilkan oleh lingkaran terbesar$(1,0)$ dan terbesar berikutnya $(0,1)$. Setiap simpul di pohon mewakili ruang antara lingkaran dan setiap tepi mewakili garis singgung yang menyentuh dua lingkaran.
$\hspace{2cm}$
Keluarga berikutnya di sebelah kiri dihasilkan oleh $(0,1)$ dan $(3,0)$ karena setiap lingkaran, dengan pusat pada garis dari pusat segitiga ke puncak kiri, memiliki jari-jari $1/3^n$ (dipersembahkan oleh $(3^{n/2},0)$ atau $(0,3^{(n-1)/2})$).
Tabulasi $1/\sqrt{r_{n,m}}$ untuk keluarga lingkaran pertama memberikan:
Keluarga 1: $$\begin{matrix} 1\\ 1+\sqrt3\\ 1+2\sqrt3&2+\sqrt3\\ 1+3\sqrt3&2+3\sqrt3&3+2\sqrt3&3+\sqrt3\\ \cdots\end{matrix} $$
Berikut ini adalah skrip Mathematica untuk menghasilkan pasangan ini:
level[n_] := level[n] = Riffle[level[n - 1], Most@level[n - 1] + Rest@level[n - 1]]
level[1]={{1,0},{0,1}}
sum[n_] := Plus @@ ((1/(#[[1]] + #[[2]] Sqrt[3.])^4) & /@ level[n])
area1 = Pi(sum[25] - 1)
(Lingkaran pusat dikurangi.)
Nilai numerik untuk luas famili pertama adalah $A_1\approx0.4550$.
Anggota keluarga lainnya mirip dengan keluarga pertama karena versi berskala dari mereka. Misalnya, keluarga kedua dihasilkan oleh$(3,0)$ dan $(0,1)$, karenanya adalah sepertiga dari keluarga satu dalam ukuran (dan kesembilan di daerah).
Jadi total luas satu cabang adalah $B=A_1(1+\frac{1}{9}+\frac{1}{9^2}+\cdots)=\frac{9}{8}A_1\approx0.5119$.
Jawaban yang dibutuhkan untuk total luas adalah $3B+\pi$, menambahkan lingkaran tengah. Perkiraan numerik dari area ini adalah$4.68$, yang baru saja berakhir $90\%$ dari keseluruhan segitiga.