Mana yang lebih tidak terkondisi, matriks korelasi aset atau matriks kovarians?
Jika saya memiliki matriks pengembalian aset multivariasi sebesar $N$saham, dan saya menghitung darinya matriks kovarians dan kemudian matriks korelasi, dapatkah saya selalu tahu mana di antara keduanya yang akan memiliki nomor kondisi yang lebih tinggi (lebih tinggi hingga tak terbatas berarti lebih tidak terkondisi, dibandingkan dengan mendekati 1 untuk yang terkondisi dengan baik) ? atau apakah jumlah kondisi dari dua (jenis) matriks yang berbeda benar-benar tidak dapat dibandingkan?
Jika yang satu selalu lebih terkondisi daripada yang lain, apakah ada bukti matematis untuk ini? kriteria lain selain nomor kondisi dipersilakan
Jawaban
Ya, Anda dapat membandingkan bilangan kondisi matriks jika mengevaluasinya untuk masalah yang sama, misalnya mengambil invers matriks. Untuk L2:

Untuk karakterisasi matematis tambahan dari pengkondisian dan dampaknya, lihat paruh pertama dari catatan kuliah ini dari kelas yang saya ambil: https://github.com/mandli/intro-numerical-methods/blob/master/12_LA_conditioning_stability.ipynb
Setelah mencoba ini dengan vektor yang dihasilkan secara acak, saya secara konsisten melihat matriks korelasi dari bilangan yang dihasilkan secara acak, terlepas dari distribusi mana yang dijadikan sampel, selalu lebih terkondisi daripada matriks kovarian. Yang aneh karena matriks kovarians ada sebelum matriks korelasi: matriks korelasi harus dihitung dari matriks kovarian, dan sebaliknya tidak dapat dilakukan.
Dengan kata lain, matriks kovarians, yang lebih tidak terkondisi, pada kenyataannya diubah menjadi matriks yang lebih terkondisi dengan baik, stabil, ketika dikonversikan ke matriks korelasi.
yang membuat saya bertanya-tanya apakah semua model keuangan yang mengandalkan matriks kovarian akan lebih baik menggunakan matriks korelasi sebagai masukan, mengingat semua permusuhan terhadap ketidakstabilan dan kondisi kovarian yang buruk. Saya tahu bahwa kovarians memiliki varians, atau risiko, sehingga model miring untuk menafsirkan korelasi secara ketat malah akan mengakibatkan kehilangan ukuran yang lebih relevan, yaitu risiko, bukan korelasi, jadi tampaknya kita mengutamakan interpretabilitas dibandingkan dengan yang lain. -pilihan terkait, yang mengakibatkan ketidakstabilan numerik dan kesalahan estimasi