manifold berdimensi rendah dengan merekatkan batas bola
Ingatlah bahwa salah satu cara menggambar lipatan-2 tertutup adalah dengan mengambil sebuah cakram $D^2$, ambil dekomposisi seluler dari $\partial D^2$, pasangkan simpul dalam dekomposisi seluler ini sehingga pemasangannya mempertahankan tepi, lalu ambil $D$ bersama dengan hasil bagi batas ini.
Kita dapat melakukan ini di dimensi lain juga, misalnya dalam dimensi 3, setiap manifold-3 tertutup dapat diperoleh dengan prosedur serupa di mana kita mengambil $B^3$, ambil dekomposisi seluler dari $\partial B^3$, pasangkan simpul dekomposisi seluler ini sehingga pasangan mempertahankan tepi dan permukaan, lalu lihat hasil bagi dari $B^3$ dengan pasangan ini.
Threlfall dan Seifert melakukan ini untuk bidang homologi Poincaré (lihat misalnya di sini - yang juga berisi deskripsi yang berbeda karena Kreines). Bahkan, mereka mengambil selulasi$\partial B^3$menjadi dodecahedron. Adakah daftar lengkap (mungkin agak pendek) dari semua lipatan-3 yang diperoleh sedemikian rupa di mana selulasinya adalah padatan Platonis?$T^3$, $\mathbb{R}P^3$, dan ruang Seifert-Weber adalah contoh lain yang muncul dalam pikiran. Saya kira bidang homologi Poincaré mungkin satu-satunya bidang homologi dalam daftar itu. Secara lebih umum, saya ingin melihat melalui daftar 3-manifold yang muncul dengan cara ini menggunakan selulasi sederhana.
Ini juga dapat dilakukan dengan cara yang sama pada dimensi 4 untuk menghasilkan semua lipatan-4 tertutup yang mulus. Apakah ada beberapa gambar / contoh bagus tentang hal ini yang dilakukan di suatu tempat? Saya ingin melihat foto-foto seperti itu$S^2 \times S^2, T^4, \mathbb{C}P^2,...$
Jawaban
Manifol-3 berorientasi tertutup ini diperoleh dengan menempelkan permukaan padatan Platonis yang diklasifikasikan oleh Everitt .
Itu untuk polihedra biasa dengan sudut dihedral yang sama, dan perekatan dilakukan secara geometris. Namun, dimungkinkan juga untuk melakukan perekatan secara topologis, dan untuk masalah itu, jawaban saya hanya sebagian. Ada 3 manifold berorientasi tertutup yang diperoleh dengan menempelkan permukaan tetrahedron. Mereka$S^3$, $L(4,1)$, dan $L(5,2)$. Perekatan eksplisit dapat dilihat pada gambar 2 makalah Jaco dan Rubinstein ini .
Ada 17 manifol-3 berorientasi tertutup yang diperoleh dengan menempelkan permukaan oktahedron, 13 di antaranya adalah bilangan prima. Mereka tercantum dalam Proposisi 4.2 makalah ini oleh Heard, Pervova, dan Petronio .
Agaknya, manifold-3 berorientasi tertutup yang diperoleh dari kubus telah disebutkan, tapi saya tidak tahu referensi. Mereka termasuk$\mathbb{R}P^3$, 3-torus dan setidaknya 2 dari manifold-3-manifold Euclide berorientasi tertutup lainnya. Saya membayangkan ada banyak lipatan-3 yang diperoleh dari dodecahedron dan ikosahedron, tapi saya ragu ada orang yang menyebutkan semuanya.
Sedangkan untuk lipatan-4, saya akan membiarkan orang lain menjawab, kecuali untuk dicatat bahwa tidak ada lipatan-4 yang diperoleh dari satu pentakoron (4-simpleks), karena memiliki 5 tetrahedra di batasnya dan ini menyebabkan paritas isu.