Masalah dengan Sudut Terarah yang berjumlah ${\pi \over 2}$.

Question

Saya sedang menyelesaikan bagian dalam buku saya (EGMO Lemma 1.30) di mana penulis membahas penggunaan sudut terarah, ketika saya menemukan-

Poin $A, B, C$ berbaring di atas lingkaran dengan pusat $O$. Menunjukkan bahwa$\measuredangle$ $OAC$ = $90^\circ$ - $\measuredangle$ $CBA$.

Izinkan saya menunjukkan sudut terarah dengan $\measuredangle$.(dimana mana)

Ini adalah upaya; penulis berbicara tentang sudut terarah dengan warna biru, dan harus ditunjukkan bahwa jumlahnya menjadi setengah$\pi$radian. Garis merah adalah konstruksi saya sendiri.

Dengan sudut terarah, kita tahu itu $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(teorema sudut tertulis).
Dan juga itu$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (segi tiga $OAC$ sama kaki).

Sekarang dengan teorema sudut terarah, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Tapi setelah ini, saat kita sedang mengerjakan modulo $\pi$ radian, tidak dapat dipahami untuk mengalikan atau membagi $2$, yang harus saya lakukan, jadi upaya saya gagal.

Jawaban kami terima kasih.

Answer 1

Dengan sudut terarah, kita tahu itu $\measuredangle$ $CBA$ = $\measuredangle$ $CXA$ = ${1\over 2}$ $\measuredangle$ $COA$(teorema sudut tertulis).
Dan juga itu$\measuredangle$ $OAC$ = $\measuredangle$ $ACO$ (segi tiga $OAC$ sama kaki).

Sekarang dengan teorema sudut terarah, $\measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $ACO$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$

Setelah ini kita bisa menulis $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $\measuredangle$ $COA=0$ dan ganti $\measuredangle$ $COA$ sebagai $2\times \measuredangle$ $CBA$

Kita mendapatkan, $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=0^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

yang setara dengan menulis sebagai $2\times \measuredangle$ $OAC$ $+$ $2\times \measuredangle$ $CBA=180^\circ (\text{mod}\ 180^\circ)$

Bagilah kedua sisi dengan $2$, dan lanjutkan untuk mendapatkan $\measuredangle$ $OAC$ + $\measuredangle$ $CBA$ = $90^\circ \ (\text{mod}\ 90^\circ)$

using : If a ≡ b (mod c) and gcd(c, d) = g then a/d ≡ b/d (mod c/g)

Karenanya terbukti.