Masalah tentang definisi spinor
Saya mencoba membangun pemahaman sederhana tentang apa itu spinor, dengan melakukan itu saya telah menemukan dua definisi spinor yang berbeda:
Definisi pertama:
Jika$|\psi\rangle$ adalah keadaan umum yang berputar $1/2$ partikel kemudian dapat diuraikan dengan cara berikut:
$$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$
dimana $|+\rangle,|-\rangle$ adalah status eigen dari komponen ketiga putaran ($S_z$), dan $c_+,c_-$adalah bilangan kompleks. Kami juga dapat menulis ini sebagai:
$$|\psi\rangle=\begin{pmatrix}c_+ \\ c_-\end{pmatrix}$$
dan dalam bentuk ini biasanya kami lebih suka menulis $u$ di tempat $|\psi\rangle$. Ini vektor 2D yang mewakili negara bagian partikel disebut spinor .
Definisi kedua:
Diberikan sebuah partikel berputar$1/2$ kita dapat menulis fungsi gelombangnya (untuk beberapa alasan) dengan cara berikut:
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(\vec{x}) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$
yang fungsi gelombang partikel , ditulis dengan cara ini, disebut spinor .
Saya sedang mencari jembatan antara dua definisi ini, serta cara untuk menghilangkan "karena suatu alasan" yang jelek dari pernyataan kedua. Mengenai hal ini: dalam catatan kuliah saya hadir sebagai berikut: $$\psi(\vec{x})=\langle\vec{x}|\psi\rangle=\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle$$ langkah ini baik-baik saja karena ini hanyalah aplikasi dari operator identitas, tetapi kemudian: $$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$ tetapi bagaimanapun jika kita menerima (1) begitu saja maka kita memiliki:
$$\psi(\vec{x})=\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}c^{1/2}_{l,m}(r)+\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi)\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}c^{-1/2}_{l,m}(r)=$$$$=\begin{pmatrix}\sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{1/2}_{l,m}(r) \\ \sum _{l,m} Y_{l,m}(\theta , \phi) c^{-1/2}_{l,m}(r)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}(r , \theta , \phi) \\ \psi_{-1/2}(r , \theta , \phi) \end{pmatrix}$$
sejak $u_{s_z}$ memang vektor 2D yang merupakan eigenstate dari operator spin.
Tapi saya punya masalah besar tentang persamaan (1): Saya tidak mengerti bagaimana kita bisa membuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan. Kenapa disana$Y(\theta , \phi)$? (Dimana$Y$ tentu saja adalah harmonik bola, jadi fungsi eigen dari momentum sudut) Apa $c^{s_z}_{l,m}(r)$ dan mengapa demikian $r$tergantung? Mengapa itu muncul$u_{s_z}$?
Jawaban
Persamaan pertama: $$|\psi\rangle=c_+|+\rangle+c_-|-\rangle$$ adalah bentuk umum untuk keadaan murni apa pun dalam sistem dua tingkat. Ruang dari semua pasangan bernorma ($c_+$, $c_-$) disebut Bloch Sphere.
Karena itu berlaku untuk sistem dua tingkat mana pun, itu tidak menjelaskan sifat fisik spinor dengan sangat baik. Nyatanya, dalam banyak skenario pengajaran, hal itu dapat menimbulkan kebingungan. Ini karena istilah "spin-up" dan "spin-down". Hal ini membuat yang belum tahu berpikir bahwa putaran tersebut sejajar atau anti-selaras dengan besaran$\frac 1 2$ (dalam satuan $\hbar$), ini bukan kasusnya.
Partikel spin 1/2 memiliki momentum sudut sebesar
$$\sqrt{s(s+1)} = \frac{\sqrt 3} 2$$
dan eigenstates memungkinkan untuk mengetahui hanya proyeksi pada sumbu tunggal, yaitu $\frac 1 2$. Artinya, dalam file$S_z$ eigenstate, masih ada:
$$ S_{x \& y} = \sqrt{s(s+1)-s^2} = \frac 1 {\sqrt 2}$$
satuan momentum sudut yang terdistribusi secara merata di $x-y$pesawat. Fakta itu, bersama dengan hubungan pergantian:
$$ [S_i, S_j] = 2i\epsilon_{ijk}S_k$$
dan kemampuan untuk mengukur putaran pada sumbu mana pun sangat penting untuk memahami pemintal.
Singkatnya, Anda dapat menulis koefisien sebagai:
$$ c_+ = \cos{\theta/2}e^{-i\phi/2} $$ $$ c_- = \sin{\theta/2}e^{+i\phi/2} $$
dan, sementara pasangan ($\theta,\phi$) mewakili superposisi dalam basis aslinya, ini adalah keadaan spin up murni saat dikuantisasi sepanjang sumbu yang menunjuk ke ($\theta, \phi$) arah.
Jadi itulah bagian spin dari fungsi gelombang. Jika Anda menulis fungsi gelombang spin sebagai vektor kolom (persamaan kedua Anda) dan menggabungkannya dengan fungsi gelombang spasial terfaktor, Anda mendapatkan: $$\Psi(\vec{x})=\psi( \vec x)\begin{pmatrix}c_+\\ c_-\end{pmatrix}$$ Itu mewakili sebuah partikel, dengan fungsi gelombang spasial, dan putaran tak terjerat. Dalam kasus yang paling umum, komponen spasi dan spin dapat terjerat, dan itu membutuhkan persamaan ketiga Anda:
$$\psi(\vec{x})=\begin{pmatrix}\psi_{1/2}( \vec x) \\ \psi _{-1/2}(\vec{x})\end{pmatrix}$$
Ini diperlukan untuk sistem seperti eksperimen Stern-Gerlach.
Jika kita melihat hanya satu komponen spasial dari fungsi gelombang, misalnya, $\psi_+(\vec x)$, ditulis di sini sebagai fungsi vektor, $\vec x$. Itu bisa dilakukan dalam koordinat kartesius:
$$ \psi(\vec x) = \psi(x,y,z)$$
koordinat lain, atau, yang umumnya paling berguna jika momentum sudut dikonservasi: koordinat bola. Dalam hal ini, bagian sudut ditangkap dalam harmonik bola, sesuai proyeksi standar dalam persamaan ke-5 Anda:
$$\sum_{l,m}\sum_{s_z=-s}^s\langle \vec{x} | l \ m \ s_z\rangle \langle l \ m \ s_z | \psi\rangle=\sum _{l,m,s_z}Y_{l,m}(\theta , \phi)u_{s_z}c^{s_z}_{l,m}(r) \ \ \ \ \ \ (1)$$
apa yang kita lihat dari persamaan ini adalah bahwa momentum sudut orbital ($(l,m)$) pasangan untuk setiap keadaan spin (sesuai aturan biasa penjumlahan momentum sudut). Perhatikan bahwa eigenstates dari total bilangan kuantum momentum sudut ($J^2, J_z$) campur berbeda $(l, m)$ dengan spin up dan spin down, seperti yang ditangkap oleh $c^{\pm}_{lm}$. Ini adalah barang standar Clebsch-Gordan, misalnya:
$$|\frac 3 2 \frac 1 2\rangle = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac 2 3}Y_{1,0}(\theta, \phi) \\ \sqrt{\frac 1 3}Y_{1,1}(\theta, \phi)\end{pmatrix}$$
Sehingga merepresentasikan dan belitan spin dan koordinat sudut sedemikian rupa sehingga bilangan kuantum momentum sudut total adalah baik.
Ketika seseorang melihat ini, katakanlah, pada atom Hidrogen, fungsi gelombang radial sepenuhnya difaktorkan keluar. Persamaan terakhir Anda, bagaimanapun, memungkinkan ketergantungan radial di$c^{\pm}_{lm}(r)$. Ini memperkenalkan keterjeratan spasial antara spin dan koordinat ruang dalam arah radial. (Saya tidak dapat memikirkan sistem yang muncul begitu saja ... karena, jika Anda menggunakan harmonik bola, masalahnya harus dapat dipisahkan dalam koordinat bola). Namun demikian, ini adalah fungsi gelombang spinor yang paling umum dalam koordinat bola.
Tambahan: Perhatikan bahwa file $\theta$ dan $\phi$ ketergantungan pada RHS (1) berhubungan langsung dengan $\vec x$di LHS. Di sini saya akan$\vec r$ untuk vektor posisi 3D, seperti $\vec x$ akan menyebabkan kebingungan:
Dalam koordinat kartesius $(x, y, z)$ dan dasar kartesian:
$${\bf r} = x{\bf\hat x}+y{\bf\hat y}+z{\bf\hat z} $$
yaitu, dalam koordinat bola $(r, \theta, \phi)$ dan dasar kartesian:
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi{\bf\hat x}+r\sin\theta\sin\phi{\bf\hat y}+r\cos\theta{\bf\hat z} $$
Sekarang kita dapat beralih dari vektor basis kartesian ke vektor basis bola (vektor basis bola adalah 3 vektor eigen dari rotasi sumbu z, mereka bukan vektor basis koordinat bola ($\hat r, \hat\theta, \hat\phi)$, dan memahaminya sangat membantu dalam memahami spin, operator tensor, dll.):
$${\bf r} = r\sin\theta\cos\phi\frac 1 {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}+{\bf\hat e^-})+r\sin\theta\sin\phi \frac i {\sqrt 2}({\bf\hat e^+}-{\bf\hat e^-})+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
yang dapat diatur ulang:
$${\bf r} = \frac 1 {\sqrt 2}r\sin\theta e^{+i\phi}{\bf\hat e^+}+\frac i {\sqrt 2}r\sin\theta e^{-i\phi} {\bf\hat e^-}+r\cos\theta{\bf\hat e^0} $$
perhatikan bahwa koefisien sudut adalah $l=1$ harmonik bola:
$${\bf r} = r\sqrt{\frac{4\pi} 3}\big[Y_1^1(\theta,\phi){\bf\hat e^+} + Y_1^0(\theta,\phi){\bf\hat e^0} +Y_1^{-1}(\theta,\phi){\bf\hat e^-} \big ]$$
Formula itu mungkin membutuhkan waktu untuk membiasakan diri. Dalam basis bola, harmonik bola adalah koordinatnya. Aneh, bagaimana sebuah fungsi bisa menjadi koordinat? Nah, lihat$Y_1^0(\theta,\phi)$. Pada unit lingkup, itu adalah $z$. Baik$z$ adalah fungsi (polinomial), dan begitu juga $x$ dan $y$. Jadi kami menggunakan koefisien polinomial dalam perwakilan kartesius lurus, kami biasanya tidak menganggapnya seperti itu, kami menganggapnya sebagai angka berlabel.