Masalah tentang hampir di mana-mana konvergensi dalam teori ukuran

Question

Saya mengalami masalah dengan masalah berikut

Membiarkan $(X, \mathcal{F}, \mu)$ ruang ukur di mana $\mu (X)<\infty.$ Membiarkan $f,f_n:X \to \mathbb{C}$dapat diukur. Set$A_n=\{ |f_n-f|\geq a_n\}$ dimana $a_n>0$ dan $a_n \to 0$. Tunjukkan jika$\sum_n \mu (A_n)<\infty,$ kemudian $f_n\xrightarrow{a.e.} f.$

Saya sudah mencoba banyak masalah ini. Misalnya, saya coba tunjukkan itu$\mu (\{f_n \nrightarrow f\})<\varepsilon$ untuk semua $\varepsilon>0$ menggunakan fakta sebagai $\mu(A_n) \to 0$ (karena seri ini konvergen) dan bahkan mengasumsikannya $(a_n)$bisa dianggap menurun secara ketat. Dalam upaya "lebih dekat" saya, saya menunjukkan bahwa setiap$x \in \{f_n \nrightarrow f\}$ terkandung dalam banyak set yang tak terhingga $A_n$. Tetapi pada akhirnya, itu tidak berhasil.

Pada setiap upaya yang saya lakukan, saya berpikir "Saya sangat dekat dengan solusi" ... tetapi ada yang gagal.

Bisakah Anda membantu saya memecahkan masalah ini?

Answer 1

Pertama amati bahwa set di mana $f_n$ tidak menyatu dengan $f$ dapat diukur dan dapat ditulis sebagai $A:=\{f_n\not\to f\}=\bigcap_{k=1}^{\infty}\bigcup_{n\ge k}A_n.$

Sekarang perhatikan pertunjukan itu $f_n\to f$ hampir di mana-mana sama dengan menunjukkan itu $A$ memiliki ukuran $0.$ Untuk melakukan ini, pertama-tama kita amati itu $$\mu(A)\le \mu(\bigcup_{n\ge k}A_n)\le \sum_{n\ge k}A_n.$$

Sejak $\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_n)$ terbatas, dengan memilih $k$ besar, kita bisa membuatnya $\sum_{n=k}^{\infty}\mu(A_n)$terlalu kecil. Ini mengikuti itu$\mu(A)=0.$