$\mathbb N$ adalah sebuah lapangan
Kami menemukan kebijaksanaan $\phi$ antara $\mathbb N$ dan $\mathbb Q$. Oleh karena itu, mendefinisikan penjumlahan dan perkalian sesuai dengan itu$\mathbb N$ (seperti yang $\phi$ menjadi homomorfisme) berubah $\mathbb N$ ke lapangan.
Apakah ada kesalahan dalam penalaran saya?
Jawaban
Bidang bukan hanya satu set , itu satu set dengan beberapa struktur tambahan (dua operasi lapangan). Jadi tidak sepenuhnya benar$\mathbb{Q}$ adalah sebuah lapangan - lebih tepatnya, $(\mathbb{Q};+,\times)$ adalah sebuah lapangan.
Bijections mari kita "struktur transportasi:" jika $\oplus,\otimes$ adalah operasi biner pada beberapa set $A$ seperti yang $(A;\oplus,\otimes)$ adalah bidang dan $f:A\rightarrow B$adalah kebijaksanaan, kita bisa memberi$B$struktur lapangan secara alami: pertimbangkan operasinya$\hat{\oplus}$ dan $\hat{\otimes}$ diberikan oleh $$x\hat{\oplus} y=f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))\quad\mbox{and}\quad x\hat{\otimes}y=f(f^{-1}(x)\otimes f^{-1}(y))$$ untuk $x,y\in B$. Tapi setnya $B$itu sendiri bukanlah sebuah bidang; lebih tepatnya, strukturnya $(B; \hat{\oplus},\hat{\otimes})$ adalah sebuah lapangan.
Apalagi saat kita angkat biasa $+$ dan $\times$ sepanjang perhiasan favorit Anda $h:\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{N}$, kami mendapatkan operasi $\hat{+}$ dan $\hat{\times}$ seperti yang $(\mathbb{N};\hat{+},\hat{\times})$adalah bidang, tetapi operasi ini akan terlihat sangat aneh - khususnya, operasi tersebut akan sangat berbeda dari penjumlahan dan perkalian bilangan asli yang biasa kita lakukan. Jadi tidak ada ketegangan antara hasil ini dan fakta itu$(\mathbb{N};+,\times)$jelas bukan bidang.
Tidak salah lagi. Faktanya, himpunan tak terbatas apa pun dapat diubah menjadi bidang. Perhatikan bahwa operasi yang Anda tetapkan$\mathbb N$ cara ini tentu akan berbeda dari penjumlahan & perkalian bilangan asli biasa (karena dengan operasi biasa bilangan asli bukan bidang).
Dengan menggunakan pemetaan diagonal biasa tetapi berganti-ganti antara nilai positif dan negatif dan melewatkan penggambaran duplikat dari "pecahan bukan suku terendah" kita dapat memperoleh bijeksi yang beberapa suku pertamanya adalah:
$$1\mapsto 0; 2\mapsto 1;3\mapsto -1; 4\mapsto 2;5\mapsto -2; 6\mapsto \frac 12; 7\mapsto -\frac 12; 8\mapsto 3;9\mapsto -3;10\mapsto \frac 13;11\mapsto -\frac 13; 12\mapsto 4;13\mapsto -4; 14\mapsto \frac 32; 15\mapsto -\frac 32; 16\mapsto \frac 23; 17\mapsto -\frac 23; 18\mapsto \frac 14;19\mapsto -\frac 14... etc...$$
Sekarang ini adalah sebuah ladang. Identitas aditif adalah$1$ dan $1 + k = k+1 = k$ untuk semua $k \in \mathbb N$.
Setiap nilai, $k$ memiliki kebalikan aditif, $-k$ maka $k+(-k)= 1$. Misalnya aditif kebalikan dari$4$ aku s $-4 =5$ dan $4+5 = 1$. Juga$-11 = 10$ dan $11 + 10 = 1$.
Identitas perkalian adalah $2$ dan $2\cdot k = k\cdot 2 = k$ untuk semua $k \in \mathbb N$.
Dan untuk setiap nilai $k$ kecuali $1$, akan memiliki pembalikan perkalian $\frac 1k$ dimana $k\cdot \frac 1k = 2$. Sebagai contoh$\frac 14 = 6$ dan $4\cdot 6 = 2$.
Dan seterusnya.
Ini semua masuk akal karena yang saya lakukan hanyalah mengganti bilangan rasional "biasa" dengan apa yang dipetakan ke dalamnya. Jika saya membuat catatan tentang$k \color{blue}{\mapsto m}$ untuk mewakili apa yang saya "benar-benar" maksud dan potong dan tempel apa yang saya tulis di atas akan menjadi:
...........
Sekarang ini adalah sebuah ladang. Identitas aditif adalah$1\color{blue}{\mapsto 0}$ dan $1\color{blue}{\mapsto 0} + k = k+1\color{blue}{\mapsto 0} = k$ untuk semua $k \in \mathbb N$.
Setiap nilai, $k$ memiliki kebalikan aditif, $-k$ maka $k+(-k)= 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Misalnya aditif kebalikan dari$4\color{blue}{\mapsto 2}$ aku s $-4\color{blue}{\mapsto 2} =5\color{blue}{\mapsto -2}$ dan $4\color{blue}{\mapsto 2}+5\color{blue}{\mapsto -2} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$. Juga$-11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} = 10{\mapsto \frac 13}$ dan $11\color{blue}{\mapsto -\frac 13} + 10\color{blue}{\mapsto \frac 13} = 1\color{blue}{\mapsto 0}$.
Identitas perkalian adalah $2\color{blue}{\mapsto 1}$ dan $2\color{blue}{\mapsto 1}\cdot k = k\cdot 2\color{blue}{\mapsto 1} = k$ untuk semua $k \in \mathbb N$.
Dan untuk setiap nilai $k$ kecuali $1\color{blue}{\mapsto 0}$, akan memiliki pembalikan perkalian $\frac 1k$ dimana $k\cdot \frac 1k = 2\color{blue}{\mapsto 1}$. Sebagai contoh$\frac 1{4\color{blue}{\mapsto 2}} = 6\color{blue}{\mapsto \frac 12}$ dan $4\color{blue}{\mapsto 2}\cdot 6\color{blue}{\mapsto \frac 12} = 2\color{blue}{\mapsto 1}$.
Dan seterusnya.