Matriks semi-pasti positif dan positif

Aug 19 2020

Membiarkan $H_n$ menjadi a $(n+1)\times (n+1)$ matriks simetris nyata, dan biarkan $D_0,D_1,\dots, D_n$ menjadi anak di bawah umur utama terkemuka $H_n$.

Yang saya tahu adalah:

  1. Jika $H_n$ pasti positif (resp. positif semi pasti), lalu $D_n> 0$ (resp. $D_n\geq 0$).
  2. Jika $D_k>0$ untuk semua $0\leq k\leq n$, kemudian $H_n$pasti positif (menurut kriteria Sylvester ).

Yang ingin saya ketahui adalah, mengasumsikan itu $H_n$ positif setengah pasti,

$\quad$P1. Jika$D_n>0$, kemudian $H_n$ pasti positif.

$\quad$P2. Jika$H_n$ jadi tidak pasti positif $D_n=0$.

Untuk Q1: Saya yakin ini dilakukan dengan induksi selesai $n$. Untuk$n=0$: Jika $D_0>0$, kemudian $H_0$pasti positif, pada poin kedua. Untuk$n=1$: Jika $D_1>0$, bagaimana Anda tahu bahwa $D_0\neq 0$, sehingga kita bisa menggunakan poin kedua lagi?

Untuk Q2: Kami tahu itu $H_n$ adalah positif semi-pasti dengan asumsi, jadi $D_n\geq 0$dengan poin pertama. Tapi, sejak itu$H_n$ bukan semi-pasti positif, kita tidak bisa $D_n>0$, jadi $D_n=0$. Itu saja?

Jawaban

1 BenGrossmann Aug 21 2020 at 14:51

Matriks semidefinit positif adalah positif pasti jika dan hanya jika dapat dibalik (memiliki determinan bukan nol).

Ini biasanya diambil sebagai konsekuensi dari berikut ini: matriks simetris adalah pasti positif jika dan hanya jika nilai eigennya nyata dan positif semidefinit jika dan hanya jika nilai eigennya non-negatif. Dari sana, kami mencatat bahwa determinan matriks adalah hasil kali dari nilai eigennya.

Untuk pembuktian yang lebih langsung, cukup untuk dicatat bahwa untuk matriks semidefinite positif (simetris) $H$, kita punya $x^THx = 0 \iff Hx = 0$. Dalam posting saya di sini , saya membuktikan ini dengan beberapa cara berbeda. Dari sana, perhatikan bahwa matriks memiliki determinan nol jika dan hanya jika nullspace (kernel AKA) tidak sepele.