Memahami bukti terkait kontinuitas
Seandainya $f:X\to \mathbb{R}$ adalah beberapa fungsi berkelanjutan dengan $f(y)>0$ untuk beberapa $y\in X$. Saya membaca di bukti yang mengatakan
Sejak $f$ terus menerus, ada lingkungan terbuka $U$ dari $y$ dan sebuah $\delta>0$ seperti yang $f(x)\geq \delta$ untuk $x\in X$.
Saya tidak mengerti mengapa mereka ada, dapatkah Anda menjelaskan apa yang sedang terjadi? Cara saya hampir memahaminya adalah:
Sejak $f$ kontinu, ada set terbuka $U$ mengandung $y$ seperti yang $f(x)>0$ untuk semua $x\in U$. Saya tidak dapat melihat bagaimana ini dicapai dengan definisi kontinuitas ...
Sejak $f>0$ di $U$ dengan 1), kami memilih $\delta>0$ begitu kecil $f(x)\geq \delta$ untuk semua $x\in U$. Apakah ini diperbolehkan? Jika ya, mengapa?
Jawaban
Mengambil $\delta = \frac{f(y)}{2}$. Kemudian$(\delta, \infty)$adalah set terbuka. Menurut definisi kontinuitas (untuk ruang topologi umum),$U = f^{-1}((\delta, \infty))$terbuka. Dan jelas menurut definisi,$y \in U$ sejak $f(y) > f(y) / 2 = \delta$. Dan untuk semua$x \in U$, kita punya $f(x) > \delta$ dan dengan demikian $f(x) \geq \delta$.