Memahami bukti untuk "persimpangan tidak kosong dari set tertutup dengan FIP" menyiratkan kekompakan
Saya mencoba untuk memahami bukti dari teorema berikut:
"Sebuah spasi X kompak jika dan hanya jika setiap kumpulan subset tertutup dari X yang memenuhi properti persimpangan berhingga memiliki persimpangan yang tidak kosong."
Bukti standar dari teorema yang saya lihat ini sama dengan yang dibahas dalam pertanyaan di bawah ini:
Properti Perpotongan Hingga menyiratkan kekompakan?
Seperti pada pertanyaan di atas, saya dapat memahami bukti kekompakan yang menyiratkan persimpangan tidak kosong dari kumpulan himpunan tertutup yang memiliki properti persimpangan berhingga namun saya tidak jelas tentang bukti untuk arah lain.
Datang ke bukti kedua seperti yang diberikan pada jawaban pertama di atas yang berbunyi sebagai berikut:
Misalkan K memiliki properti perpotongan berhingga. Untuk membuktikan bahwa K kompak, biarkan {Ui} i∈I menjadi kumpulan set terbuka yang menutupi K. Kami mengklaim bahwa koleksi ini berisi subkoleksi terbatas dari set yang juga mencakup K.
Seandainya $K \neq\bigcup_{j \in J} U_j$ dimana $J\subset I$terbatas. Menerima pujian memberi$K^c \neq \bigcap U_j^c$, yang menurut hipotesis tidak kosong - sejak $U_i$ terbuka, $U_i^c$ditutup. Sejak$K$ memiliki fip sehingga kita memilikinya
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$. Ini bertentangan$U_i$ menjadi penutup terbuka untuk $K$.
Di sini saya tidak dapat melihat pentingnya bagian dari bukti ini dengan himpunan terbatas $ J $ yang terkandung di dalam $ I $. Bisakah kita tidak langsung memulai dengan bagian berikut?
$ \emptyset \neq \bigcap_{i \in I} U_i^c = \left( \bigcup_{i \in I} U_i \right)^c$
Yang paling penting, kami memperoleh kontradiksi dengan {Ui} i∈I menjadi sampul terbuka dari himpunan yang dimaksud. Saya tidak bisa melihat bagaimana itu mengarah pada kekompakan? Bagaimana hal itu mengamanatkan keberadaan subcover terbuka untuk semua sampul terbuka set ini?
Saya melihat bukti serupa di blog berikut:
https://dantopology.wordpress.com/2009/11/30/the-finite-intersection-property-in-compact-spaces-and-countably-compact-spaces/
tapi di sini juga saya tidak bisa melihat bagaimana kontradiksi mengarah pada keberadaan subcover.
Jawaban
Keluarga himpunan dengan properti perpotongan berhingga dikatakan berpusat ; untuk kenyamanan saya akan menggunakan istilah itu.
Bukti Dan Ma bukanlah kontradiksi. Dia ingin membuktikan bahwa jika setiap keluarga terpusat dari tertutup$X$ memiliki persimpangan yang tidak kosong, lalu $X$kompak. Untuk melakukan ini, dia membuktikan kontrapositif : jika$X$ tidak kompak $X$memiliki keluarga terpusat dari himpunan tertutup yang persimpangannya kosong. Ini secara logis setara dengan implikasi yang diinginkan.
Argumennya sendiri langsung. Seandainya$X$tidak kompak; maka itu memiliki penutup terbuka$\mathscr{U}$tanpa subcover yang terbatas. Untuk setiap$U\in\mathscr{U}$ membiarkan $F_U=X\setminus U$, dan biarkan $\mathscr{F}=\{F_U:U\in\mathscr{U}\}$; jelas$\mathscr{F}$adalah keluarga set tertutup. Membiarkan$\mathscr{F}_0$ menjadi bagian terbatas dari $\mathscr{F}$. Ada yang terbatas$\mathscr{U}_0\subseteq\mathscr{U}$ seperti yang $\mathscr{F}_0=\{F_U:U\in\mathscr{U}_0\}$. Kemudian
$$\bigcap\mathscr{F}_0=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}F_U=\bigcap_{U\in\mathscr{U}_0}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\,.$$
$\mathscr{U}$ tidak memiliki subcover yang terbatas, jadi $\bigcup\mathscr{U}_0\ne X$, dan oleh karena itu
$$\bigcap\mathscr{F}_0=X\setminus\bigcup\mathscr{U}_0\ne\varnothing\,.$$
Jadi, $\mathscr{F}$ berpusat: setiap subset terbatas dari $\mathscr{F}$memiliki persimpangan yang tidak kosong. Tapi
$$\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{U\in\mathscr{U}}(X\setminus U)=X\setminus\bigcup\mathscr{U}=\varnothing\,,$$
sejak $\mathscr{U}$ adalah sampul dari $X$, jadi $\mathscr{F}$ adalah kelompok tertutup yang berpusat di $X$ yang persimpangannya kosong.
Bukti yang Anda disalin ke pertanyaan Anda menggunakan dasarnya ide yang sama tapi tidak mengatur itu sebagai bukti dengan kontradiksi. Saya akan mencoba menyajikannya sedikit lebih jelas. Kami mulai dengan sampul terbuka yang sewenang-wenang$\mathscr{U}=\{U_i:i\in I\}$ dari ruang yang kompak $K$, dan kami mengira, untuk mendapatkan kontradiksi, bahwa ia tidak memiliki subcover yang terbatas. Kemudian untuk setiap yang terbatas$J\subseteq I$ kami tahu itu $\bigcup_{j\in J}U_j\ne K$. Sekarang untuk masing-masing$i\in I$ membiarkan $F_i=K\setminus U_i$; kemudian$\mathscr{F}=\{F_i:i\in I\}$ adalah keluarga set tertutup di $K$, dan untuk setiap yang terbatas $J\subseteq I$ kita punya
$$\bigcap_{j\in J}F_j=\bigcap_{j\in J}(K\setminus U_j)=K\setminus\bigcup_{j\in J}U_j\ne\varnothing\,,$$
begitu $\mathscr{F}$berpusat. Kami mengasumsikan bahwa setiap keluarga yang terpusat dari kumpulan tertutup di$K$ memiliki persimpangan yang tidak kosong, jadi kami menyimpulkan itu $\bigcap\mathscr{F}=\bigcap_{i\in I}F_i\ne\varnothing$. Tapi kemudian
$$\bigcup\mathscr{U}=\bigcup_{i\in I}U_i=\bigcup_{i\in I}(K\setminus F_i)=K\setminus\bigcap_{i\in I}F_i\ne K\,,$$
bertentangan dengan fakta itu $\mathscr{U}$ adalah sampul dari $K$. Kontradiksi ini menunjukkan bahwa pada kenyataannya pasti ada yang terbatas$J\subseteq I$ seperti yang $\bigcup\{U_j:j\in J\}=K$, yaitu seperti itu $\{U_j:j\in J\}$ adalah subcover yang terbatas.