Memahami bukti $v\in S$ seperti yang $v\in\text{span}(S\setminus \{v\}) \implies S$ bergantung secara linier.

Question

Jadi saya mencoba memahami bukti yang disajikan oleh Titu Adreescu untuk kebalikan dari teorema berikut:

Membiarkan $S$ menjadi himpunan vektor di beberapa ruang vektor $V$. Kemudian$S$ bergantung secara linier jika dan hanya jika ada $v\in S$ seperti yang $v\in\text{span}(S\setminus\{v\})$

Bukti kebalikannya adalah sebagai berikut:

Misalkan ada $v\in S$ seperti yang $s\in\texttt{span}(S\setminus \{v\})$. Itu artinya kita bisa menemukan$v_1, v_2, \dots, v_n \in S\setminus v$ dan skalar $a_1, \dots, a_n$ seperti yang $v = a_1 v_1 + \dots + a_n v_n$ tapi kemudian $1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$ dan vektor $v, v_1, \dots, v_n$bergantung secara linier. Sejak$v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$, itu mengikuti itu $S$ memiliki himpunan bagian terbatas yang bergantung secara linier dan sebagainya $S$bergantung secara linier. Hasilnya mengikuti.

Sekarang, saya mendapatkan sebagian besar bukti tetapi saya pikir itu seharusnya cukup untuk menyimpulkan bahwa S bergantung secara linier $1\cdot v + (-a_1) v_1 + \dots + (-a_n) v_n = 0$ namun Titu pergi dan membantahnya $S\setminus \{v\}$ adalah subset dependen linier dari $S$ (yang saya tidak mengerti dari mana asalnya $v \not\in \{v_1, \dots, v_n \}$) dan menyimpulkan dengan menggunakannya untuk membuktikannya $S$ memiliki subset dependen linier menyiratkan S dependen linier.

Tolong bantu saya memahami bukti ini. Terima kasih.

Answer 1

Membiarkan $v\in S$ seperti yang $v\in \text{span}(S \setminus \{{v}\})$ begitu ada $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ seperti yang

$$ v = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_n v_n, v_i \in S \setminus \{v\} $$

Saya pikir fakta itu $v \notin \{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ berfungsi untuk melihat itu memang $\{v,v_1,\ldots,v_n\}$bergantung secara linier. Mengapa?, Jika beberapa$v_i=v$ seharusnya $v_1$ kamu punya

$$ (1-\alpha_1)v_1 + \alpha_2 v_2 + \ldots + \alpha_n v_n = 0 $$

Dan Anda tidak bisa mengatakan itu $\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ bergantung secara linier.

Namun saya pikir sudah jelas itu $\{v,v_1,\ldots,v_n\} \subseteq S$ bergantung secara linier karena mereka sudah memberi tahu Anda hal itu $v_i \in S \setminus \{v\}$.

Perhatikan bahwa jika $S$ memiliki subset dependen linier, $S$ bergantung secara linier.