Memahami pernyataan dan bukti teorema Bertini di Griffiths dan Harris

Question

Saya kesulitan memahami pernyataan dan bukti teorema Bertini dalam buku Griffiths & Harris (hal.$137$). Terus terang, saya tidak mengerti sepatah kata pun bahkan setelah saya membaca beberapa jawaban di tumpukan. Teorema tersebut adalah

Elemen generik dari sistem linier jauh dari lokus dasar sistem.

Pertanyaan pertama . Apakah pernyataan di atas merujuk pada bundel garis umum daripada hanya bundel garis yang diasosiasikan dengan pembagi?

Sejauh yang bisa saya katakan, ini mengacu pada sistem linier dari bundel garis yang terkait dengan pembagi. Beritahu saya jika saya salah.

Pertanyaan kedua . Apa elemen generiknya? Atau apakah pensil generik itu?

Dalam pembuktiannya, penulis memulai dengan " Jika elemen generik dari sistem linier adalah tunggal jauh dari basis lokus sistem, maka hal yang sama berlaku untuk pensil generik yang terdapat dalam sistem; jadi cukup untuk membuktikan Bertini untuk sebuah pensil. "

Pertanyaan ketiga . Apa sebenarnya arti kalimat di atas?

Sekarang misalkan $\left \{D_{\lambda} \right \}_{\lambda \in \mathbb{P}^1}$ adalah sebuah pensil

Pertanyaan keempat . Mengapa penulis menulis$D_{\lambda} = (f+\lambda g = 0)$? Apa yang dilakukan$f,g$ maksud di sini?

Pertanyaan terakhir berkaitan dengan derajat suatu varietas (hal.$171$).

Bertini diterapkan pada lokus halus $V$ yang generik $(n-k)$-pesawat $\mathbb{P}^{n-k} \subset \mathbb{P}^n$ akan berpotongan $V$ melintang dan akan bertemu $V$ tepat $\mathrm{deg}(V) = ^{\#}(\mathbb{P}^{n-k}.V)$ poin.

Pertanyaan terakhir . Apa itu generik$(n-k)$-pesawat? Dalam hal ini, mengapa itu berpotongan$V$ melintang?

Answer 1

1. Dalam pengaturan Anda (lipatan kompleks) semua bundel garis berasal dari pembagi dan sebaliknya.

2. Elemen generik dari sistem linier berarti bahwa di $\mathbb P^r$ parametrizing anggota sistem linier itu, kami mempertimbangkan beberapa subset terbuka padat $\mathbb P^r$. Unsur-unsur generik adalah yang diparameterisasi oleh sebuah titik di tempat terbuka yang padat itu. Pensil generik yang sama parameternya dengan sebuah titik di tempat terbuka yang padat di Grassmannian$G(2,r+1)$ dari $2$subruang -dimensi dari $H^0(L)$ (dimana $L$ adalah bundel garis).

3. Kalimat tersebut mengatakan bahwa setiap perilaku "buruk" akan terjadi dengan pensil, jadi kita tidak perlu khawatir tentang sistem linier berdimensi lebih tinggi.

4. Maksud mereka $f,g \in H^0(L)$, jadi ambil kombinasi linier dari $f$ dan $g$ menghasilkan pensil.

5. Bidang generik parametrized oleh subset terbuka padat dari Grassmannian yang sesuai. Transversalitas adalah karena transversalitas merupakan kondisi terbuka.