Membiarkan $A$ jadilah tempat terbuka dan padat $\mathbb R^n$. Buktikan itu $A + A = \mathbb R^n$
Saya tidak tahu bagaimana melakukan yang satu ini. Apa yang saya coba buktikan adalah yang diberikan beberapa$x$ di $\mathbb R^n$ pasti ada beberapa $y$ sehingga keduanya $\frac x 2 + y$ dan $\frac x 2 - y$ keduanya berada di A.
Tapi saya tidak tahu bagaimana melanjutkannya. Hanya petunjuk yang dihargai
Jawaban
Jika $A$ adalah set terbuka yang padat, lalu $A-\frac x2$ dan $\frac x2-A$adalah himpunan terbuka padat, jadi persimpangannya adalah himpunan terbuka padat, dan khususnya tidak kosong. Pilih satu titik$y\in(A-\frac x2)\cap(\frac x2-A)$; kemudian$\frac x2+y\in A$ dan $\frac x2-y\in A$, jadi $x=(\frac x2+y)+(\frac x2-y)\in A+A$.
Secara lebih umum, jika$A$ adalah set terbuka tidak kosong $\mathbb R^n$ dan $B$ adalah bagian padat dari $\mathbb R^n$, kemudian $A+B=\mathbb R^n$.
Bukti. Pertimbangkan poin mana pun$t\in\mathbb R^n$; kami harus menunjukkan itu$t\in A+B$.
Sejak pemetaan $x\mapsto t-x$ adalah sebuah homeomorfisme, $t-A$adalah set terbuka tidak kosong. Sejak$B$ padat, $B\cap(t-A)\ne\emptyset$. Pilih satu titik$b\in B\cap(t-A)$. Kemudian$b\in B$, dan $b=t-a$ untuk beberapa $a\in A$, jadi $t=a+b\in A+B$.