Membiarkan $E = \{ 1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. Tentukan set titik interior, akumulasi, isolasi dan batas

Question

Semoga pertanyaan ini sesuai untuk forum ini. Jika tidak, tolong beritahu saya. Saya ingin tahu apakah pembenaran (bukti) solusinya benar.

Membiarkan $E = \{1, 1/2, 1/3, 1/4, \ldots\}$. Juga$\sup E = 1$ dengan $1 \in E$ dan $\inf E = 0$ begitu $E \subset (0,1]$.

1. Set titik interior E: biarkan $c > 0, c \in \mathbb{R}$. Ambil apapun$x \in E$. Pertimbangkan intervalnya$(x-c,x+c)$ karena interval tersebut mengandung bilangan rasional dan irasional $(x-c,x+c) \not\subset E$ jadi x bukan titik interior E. Oleh karena itu tidak ada titik interior di E dan himpunan titik interior E adalah himpunan kosong $\phi$.

2. Kumpulan poin akumulasi E: untuk setiap $c > 0, c \in \mathbb{R}$, ambil apa saja $x \in (0,1]$. Pertimbangkan intervalnya$(x-c,x+c)$ karena interval tersebut mengandung bilangan rasional dan irasional dan $E \subset \mathbb{Q}$ kemudian $(x-c,x+c)\cap E$ mengandung banyak titik E. Oleh karena itu himpunan titik akumulasi E adalah (0,1].

3. Set titik terisolasi dari E: biarkan $c > 0, c \in \mathbb{R}$. Ambil apapun$x \in E$. Pertimbangkan intervalnya$(x-c,x+c)$ karena interval tersebut mengandung bilangan rasional dan irasional $(x-c,x+c) \cap E \subset E \neq \{ x \}$ jadi x bukan titik terisolasi E. Oleh karena itu tidak ada titik terisolasi di E dan himpunan titik terisolasi E adalah himpunan kosong $\phi$.

4. Set titik batas E: Untuk setiap $c > 0, c \in \mathbb{R}$ lalu setiap interval $(0-c,0+c)$ memiliki setidaknya satu titik di luar E dan setidaknya satu titik di dalam E. Juga setiap interval $(1-c,1+c)$ memiliki setidaknya satu titik di luar E dan setidaknya satu titik di dalam E. Jika tidak, untuk salah satu $x \in E$ tidak setiap interval $(x-c,x+c)$ memiliki setidaknya satu titik di luar E dan setidaknya satu titik di dalam E. Oleh karena itu himpunan titik batas E adalah {0,1}.

Catatan: Referensi untuk definisi titik interior, akumulasi, terisolasi dan batas adalah "Analisis Real Dasar" oleh B. Thomson, JB Brucker dan AM Bruckner, Sec. 4.2, hal. 165.

Terima kasih sebelumnya atas komentarnya.

Answer 1

Benar untuk mengatakan itu $(x - c, x + c)$ berisi bilangan rasional dan irasional, dan memang benar untuk mengatakannya $E \subseteq \mathbb{Q}$; tapi tidak benar untuk mengatakan itu$(x - c, x + c)$ berisi beberapa anggota $E$sebagai konsekuensi. Sebagai contoh sederhana, mari$x = 3/4$ dan $c = 1/8$; interval$(5/8,7/8)$ tidak berisi anggota dari $E$. Yang penting, hanya karena semua anggota$E$ berada di $\mathbb{Q}$ tidak berarti bahwa anggota $\mathbb{Q}$ di $(x - c, x + c)$ kebetulan sama dengan yang ada di $E$!

Kesalahan ini memengaruhi jawaban Anda dalam 2, 3, dan 4. Untuk membantu Anda mulai memperbaikinya, berikut adalah saran tentang # 2.

Membiarkan $1/2 < x < 1$. Interval$(1/2, 1)$ adalah interval terbuka yang berisi $x$ yang tidak termasuk anggota dari $E$ (karena semua anggota $E$ Selain daripada $1$ dan $1/2$ lebih kecil dari $1/2$), jadi $x$ bukan merupakan titik akumulasi $E$.

Saya akan menyerahkannya kepada Anda, untuk saat ini, untuk menerapkan garis pemikiran ini secara lebih umum.